Uso de la acción grupal para estudiar el tamaño del producto de dos subgrupos

En la 3ra edición de Abstract Algebra de Beachy y Blair se presenta el siguiente problema:

Dejar$H$y$K$ser subgrupos del grupo$G$, y deja$S$Sea el conjunto de las clases laterales izquierdas de$K$. Definir una acción de grupo de$H$en$S$por$a \cdot (xH) = ax K$para$a \in H$y$x \in G$. Al considerar la órbita de$K$bajo esta acción, demuestre que$|HK| = \frac{|H||K|}{H \cap K}$

Primero, creo que hay un error tipográfico, la acción de$H$en$K$-las cosets deben ser$a \cdot (xK) = axK$. En segundo lugar, parece que no puedo obtener el resultado deseado al estudiar la órbita de$K$. Yo obtengo:

$$\mathcal{O}(K) = \{ hK \ | \ h \in H \}$$ para $hK = h'K$nosotros necesitamos $h'h^{-1} \in K$dónde $h,h' \in H$por eso $h'h \in H \cap K$lo que da $h(H \cap K) = h'(H \cap K)$. Por lo tanto, me parece que hay $|H \cap K|$-representantes de cada $K$coset, en resumen, $$|\mathcal{O}(K) = \{ hK \ | \ h \in H \}| = \frac{|H|}{|H \cap K|}.$$ Por otro lado, el estabilizador de $K$es $$G_K = \{ h \in H \ | \ hK = K \} = H \cap K$$ Entonces, el teorema del estabilizador de órbita da $$|H| = |\mathcal{O}(K)||G_K| = \frac{|H|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H|.$$ Cierto, pero no sirve para el resultado deseado que describe el tamaño de $HK$.

Pregunta: ¿cómo mostramos$|HK| = \frac{|H||K|}{H \cap K}$aplicando la teoría de la acción de grupo a la acción de grupo dada de$H$en$G/K$?

Mi enfoque no es productivo. Por supuesto, sé que este problema se puede resolver sin acciones grupales (ver Dummit y Foote, página 93, Proposición 13, por ejemplo). Si mi órbita o estabilizador es falso, hágamelo saber el error de mis formas. Gracias de antemano por sus ideas.