Prueba (g,x)↦x∗g−1(g,x)↦x∗g−1(g,x) \mapsto x * g^{-1} es una acción de grupo izquierda.

Question

Prueba (g,x)↦x∗g−1(g,x)↦x∗g−1(g,x) \mapsto x * g^{-1} es una acción de grupo izquierda.

Matemáticas
teoría de grupos
acciones de grupo
álgebra abstracta

grandes amigos

Me estoy confundiendo un poco con las acciones grupales. Tengo que probar que el mapa $(g,x)\mapsto x*g^{-1}$ es una acción del grupo de izquierda . Ya he probado que es una acción de grupo usando el hecho de que es asociativo y hay un elemento de identidad. ¿Cómo hago para probar que es una acción del grupo de izquierda ? ¿Algunas ideas?

Kevin Dudeja

¿Están las operaciones en

g \circ x \mapsto x * g^{- 1}

$g\circ x \mapsto x * g^{-1}$ ,

\circ

$\circ$ y

*

$*$ ¿lo mismo?

grandes amigos

lo siento, la operación debería ser:

(g, x) \mapsto x * g^{- 1}

$(g,x) \mapsto x*g^{-1}$

matemático antiguo

Pista:

(g h)^{- 1} = h^{- 1} g^{- 1}

$(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$ .

Kevin Dudeja

Con referencia a la ley de cancelación por la izquierda, afirmo que esta acción por la izquierda es una propiedad de un elemento , que está en el grupo

Derek Holt

Si estoy entendiendo su pregunta correctamente, entonces la respuesta es simple. Es una acción de grupo de izquierda porque es una acción de grupo en la que el

g

$g$ está a la izquierda de la

x

$x$ . Una acción de grupo izquierda de un grupo

G

$G$ en un conjunto

X

$X$ es un mapa

G \times X \to X

$G \times X \to X$ , y una acción de grupo correcta es un mapa

X \times G \to X

$X \times G \to X$ .

Respuestas (3)

Prueba (g,x)↦x∗g−1(g,x)↦x∗g−1(g,x) \mapsto x * g^{-1} es una acción de grupo izquierda.

¿Están las operaciones en $g\circ x \mapsto x * g^{-1}$ , $\circ$ y $*$ ¿lo mismo?
lo siento, la operación debería ser: $(g,x) \mapsto x*g^{-1}$
Con referencia a la ley de cancelación por la izquierda, afirmo que esta acción por la izquierda es una propiedad de un elemento , que está en el grupo
Si estoy entendiendo su pregunta correctamente, entonces la respuesta es simple. Es una acción de grupo de izquierda porque es una acción de grupo en la que el $g$ está a la izquierda de la $x$ . Una acción de grupo izquierda de un grupo $G$ en un conjunto $X$ es un mapa $G \times X \to X$ , y una acción de grupo correcta es un mapa $X \times G \to X$ .

Brian Cheung · Answer 1

Escribamos una acción como una función $A:G\times X \to X$ .
Entonces para $A$ para ser una acción izquierda, tiene que satisfacer $A(g, A(h, x)) = A(gh, x)$ .
Por el contrario, las acciones correctas satisfacen $A(g, A(h,x)) = A(hg, x)$ .
(De hecho, las acciones correctas generalmente se escriben como $B:X\times G\to X$ satisfactorio $H(H(x, g), h) = H(x, gh)$ para que se parezca más a una ley de asociatividad.

Entonces, para su pregunta, debe mostrar:

$A(g, A(h,x)) = A(g, x*h^{-1}) = x*h^{-1}*g^{-1} = x*(gh)^{-1} = A(gh, x)$
Así que incluso si el $g$ 'aparece' a la derecha, es de hecho una acción de izquierda.

usuario750041 · Answer 2

Si $x*g$ es una acción (correcta) (" $hyp.$ "), entonces $g\cdot x := x*g^{-1}$ es una acción izquierda. De hecho:

$\space\space e\cdot x=x*e^{-1}=x*e\stackrel{hyp.}{=}x, \space\forall x\in X$ ;
$\begin{aligned} (gramo h) \cdot X & = X * (gramo h)^{- 1} \\ = X * (h^{- 1} {gramo}^{- 1}) \\ \overset{h y pag .}{=} (X * h^{- 1}) * {gramo}^{- 1} \\ = gramo \cdot (X * h^{- 1}) \\ = gramo \cdot (h \cdot X) \end{aligned}$ $\begin{alignat}{1} (gh)\cdot x &= x * (gh)^{-1} \\ &= x*(h^{-1}g^{-1}) \\ &\stackrel{hyp.}{=} (x*h^{-1})*g^{-1} \\ &= g\cdot (x*h^{-1}) \\ &= g\cdot (h\cdot x) \\ \end{alignat}$

Kevin Dudeja · Answer 3

Aquí, nuestro mapeo toma un conjunto ordenado del producto cartesiano $G\ * \ X$ a un elemento en conjunto $X$ , $(g,x):=xg^{-1}$

Si dejamos el mapeo $(g,x)\mapsto x*g^{-1}$ sea una acción de grupo izquierda de G sobre S.

Entonces, por esa misma suposición, ahora podemos decir que el mapeo debe satisfacer los axiomas de las acciones del grupo izquierdo.

PS Si su mapeo satisface los axiomas de las acciones del grupo izquierdo, implica que

Hm, creo que lo estoy haciendo un poco más difícil de lo que debería ser, pero es algo como esto: $(g,x)=(h,x) \implies xg^{-1}=xh^{-1} \implies g^{-1}=h^{-1} \implies g=h \implies gx=hx$ ?
No, no se puede abordar como la prueba de cancelación izquierda. Cuanto más leo la definición de la acción del grupo izquierdo, más estoy de acuerdo con esto.
¿qué quieres decir? Solo sé que G es un grupo y X es una colección general de cosas, nada específico. Supongo que solo quieren que piense en la definición de acciones de grupo de izquierda y que me den cuenta de que $gx:= xg^{-1}$ , pero me cuesta verlo
@Josephine no se preocupe, este "ver" no necesita ser una vista visual como mirar las montañas, sino una aplicación axiomática como un razonamiento de refutación. Continuando, entonces G es un grupo y S (aquí X) es un conjunto y el mapeo (regla) es que $gx:= xg^{-1}$ .
@Josephine, cuando continúa apoyando los razonamientos de que el mapeo satisfaría los axiomas de compatibilidad, también obtendría respuestas de #ancientmathematics.

Prueba (g,x)↦x∗g−1(g,x)↦x∗g−1(g,x) \mapsto x * g^{-1} es una acción de grupo izquierda.

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