acción de grupo y automorfismo de un grupo

Publiqué una pregunta hace algún tiempo que fue mal recibida. Es cierto que mis notas de clase también eran bastante descuidadas, por lo que eso podría haber influido en mi incapacidad para formular la pregunta que quería.

que obviamente es descuidado...

El automorfismo de un grupo es una acción de grupo.

Aquí está la definición de acción de grupo:

Sea G un grupo,$\Omega$sea ​​un conjunto finito. Una función$\mu: \Omega \times G\rightarrow \Omega$

se llama acción de G sobre$\omega$si se cumplen dos propiedades:

1)$\mu \left ( \omega,e\ \right )=\omega$

2)$\mu\left ( \omega,gh \right )=\omega^{gh}=\mu\left ( \mu\left ( \omega,g \right ),h \right )$

Profundizando en el problema:

Dada la definición de la acción de un grupo G sobre un conjunto, el hecho de que Aut(G) actúe sobre$\Omega=G$aparece como Aut(G) siendo la acción del grupo.

En el enlace dado, un cartel ha propuesto un mapa pero siguiendo la definición general del mapa dada por mí arriba,

parece que el mapa es

$\mu:Aut\left ( G \right ) \times \Omega \rightarrow G$

$\left ( \phi,g \right ) \mapsto g$

por lo que debemos comprobar

$\mu\left ( \phi_{1}\phi_{2},g \right ) =g^{\phi_{1}\phi_{2}}$

y

$\mu\left ( \phi_{e},g \right )$, compatibilidad e identidad, respectivamente.

¿Tengo razón?

Cualquier ayuda para despejar mis dudas es muy apreciada.