Las órbitas con respecto a dos grupos de la misma clase de conjugación son isomorfas

Question

usuario796754

En la página de Wikipedia del método simbólico de Flajolet y Sedgewick

bajo el título "Clases de estructuras combinatorias" dice: "Las órbitas con respecto a dos grupos de la misma clase de conjugación son isomorfas".

¿Alguien sabe de una prueba de esto? Tal vez algo como:

Definiciones/notación:

$G$ es un grupo
$X$ es un conjunto.
$\psi: G \times X \rightarrow X$ es un $G$ acción sobre $X$ .
$H$ y $H^{\prime}$ son subgrupos conjugados de $G$ - eso es, $H^{\prime} = gHg^{-1}$ para algunos $g \in G$ .
$H$ y $H^{\prime}$ guiarse por $X$ por las restricciones de $\psi$ a $H$ y $H^{\prime}$ , respectivamente.
$\text{orb}_{H}(x)$ y $\text{orb}_{H^{\prime}}(x)$ denota las órbitas de $x \in X$ con respecto a $H$ y $H^{\prime}$ , respectivamente.
$\phi$ denota el isomorfismo entre $H$ y $H^{\prime}$ definido por $\phi(h) = ghg^{-1}$ .

Ahora, define la función $f: \text{orb}_H(x) \rightarrow \text{orb}_{H^{\prime}}(\psi(g, x))$ por

F (ψ (h, X)) = ψ (ϕ (h), ψ (gramo, X)) .

$\begin{equation*} f(\psi(h, x)) = \psi(\phi(h), \psi(g, x)). \end{equation*}$ Entonces,

f

$f$ es una biyección bien definida y

\begin{aligned} F (ψ (h, z)) = ψ (ϕ (h), F (z)) . \end{aligned}

$\begin{align*} f(\psi(h, z)) = \psi(\phi(h), f(z)). \end{align*}$ Muchas gracias.

¿Cuál es la definición de "órbitas isomórficas"?

Asumo en el sentido de conjuntos G. Es decir, que existe una biyección entre las órbitas que es compatible con las acciones del grupo.

Por favor, no destroce su pregunta, especialmente después de obtener una respuesta.

Asumo en el sentido de conjuntos G. Es decir, que existe una biyección entre las órbitas que es compatible con las acciones del grupo.
Por favor, no destroce su pregunta, especialmente después de obtener una respuesta.

Alaska · Answer 1

Después de definir la conjugación como una acción grupal, se deduce de la definición que las órbitas ahora son las clases de conjugación.