¿Cómo demuestro que hay una biyección?

Tengo el siguiente problema y estoy un poco atascado.

Dejar$G$ser un grupo finito actuando sobre$X$. Consideremos primero el caso de que$X=G/H$dónde$H$es un subgrupo de$G$. Aquí consideramos la acción natural

$$G\times G/H \rightarrow G/ H,\,\,(g,xH)\mapsto gxH.$$ Además introducimos la siguiente cantidad $$E=\{(g,k)\in G\times G\mid k^{-1}gk\in H\}.$$ Entonces tenemos las siguientes dos funciones$p_1,p_2:E\rightarrow G$con$p_1(g,k)=g$y$p_2(g,k)=k$. necesito mostrar eso$p_2$es sobreyectiva y para$k\in G$hay una biyeccion entre$p_2^{-1}(k)$y el subgrupo$kHk^{-1}$.

Habría hecho esto de la siguiente manera: (i) Sea$k\in G$, nos damos cuenta que$(1,k)\in E$, es decir, hemos encontrado un elemento en E tal que$p_2(e,k)=k$. Esto a su vez significa que$p_2$es sobreyectiva.

(ii) Ahora necesitamos encontrar una biyección$\phi:p_2^{-1}(k)\rightarrow kHk^{-1}$. Aquí no sé cómo elegir esto exactamente, de alguna manera tengo que usar la sobreyección para de$p_2^{-1}(k)$G y luego ver que encuentro una inyección para$kHk^{-1}$¿O no?

¿Podría alguien ayudarme aquí? ¡Muchas gracias!