Demostrar que dos elementos de un grupo no tienen relaciones entre ellos usando acciones grupales

Suponer$G$actúa en un conjunto$X$, y deja$X_a, X_b \subseteq X$ser disjunto y no vacío. Supongamos además que$a, b \in G$y que para cualquier$k \neq 0$,$a^k \cdot X_b \subseteq X_a$y$b^k \cdot X_a \subseteq X_b$. (El$\cdot$indica acción de grupo). Entonces quiero mostrar que$\langle a, b \rangle \cong F(a, b)$(es decir, el subgrupo generado por$a, b$en$G$es isomorfo al grupo libre formado por dos letras$a, b$).

Entonces, el quid de la cuestión es mostrar que las palabras de la forma$a^{k_1}b^{s_1}\cdots a^{k_n}b^{s_n}$no son identidad en$G$.

Esto es bastante fácil para palabras como:$a^{k_1}b^{s_1}\cdots a^{k_n}$o$b^{s_1}\cdots b^{s_n}$(es decir, palabras que comienzan y terminan con la misma letra). En el primer caso, obsérvese la acción de la palabra sobre algunos$x \in X_b$(el resultado final será en$X_a$) y en este último caso, observar la acción sobre algunos$x \in X_a$(el resultado final será en$X_b$).

Sin embargo, tengo cierta confusión con las palabras que comienzan y terminan con letras diferentes, es decir,$a^{k_1}b^{s_1}\cdots a^{k_n}b^{s_n}$o$b^{s_1}a^{k_1}\cdots b^{s_n}a^{k_n}$. Ya que para estas palabras, si comienzas con, di$x \in X_a$, terminas en$X_a$de nuevo.

Esto se siente como una pregunta fácil de cinco minutos, pero estoy teniendo una cantidad sorprendente de problemas con ella. Agradecería algunos consejos.