El subgrupo normal tiene como máximo |G:N||G:N||G:N| órbitas

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La desigualdad que busca probar se puede establecer de la siguiente manera: supongamos primero$G$es un grupo actuando transitivamente en el set$A$y eso$H \trianglelefteq G$.

1. Consideremos primero la acción natural de$G$en$\mathscr{Part}(A)$, el conjunto de todas las particiones de $A$, dada por$\lambda \mathscr{P}=\{\lambda X\}_{X \in \mathscr{P}}$.

2. Considere a continuación la partición$A/H$dada por las órbitas bajo la acción de$H$. la normalidad de$H$es lo que hace que este tabique sea un punto fijo bajo la acción de$G$presentado anteriormente, ya que$\lambda (Hx)=H(\lambda x)$para cualquier$\lambda \in G$y$x \in A$.

3. En virtud de la observación anterior, se puede considerar la acción natural de$G$en$A/H$, dada por$\lambda X=\{\lambda x\}_{x \in X}$para cualquier$\lambda \in G$y$X \in A/H$. La transitividad de la acción original de$G$en$A$inducirá la transitividad de esta nueva acción sobre$A/H$: como$A$no está vacío (por definición), podemos arreglar un cierto$B \in A/H$, a su vez no vacío (ya que es una órbita), por lo tanto, además podemos fijar un arbitrario$a \in B$; considerar también un arbitrario$X \in A/H$; de nuevo, desde$X$no está vacío, debe existir un cierto$t \in X$; desde$G$actúa transitivamente sobre$A$, existirá$\lambda \in G$tal que$\lambda a=t$; entonces nosotros tenemos$\lambda B, X \in A/H$y$t \in \lambda B \cap X$, por eso$X=\lambda B$.

4. Manteniendo las notaciones de 3), por el teorema del estabilizador de órbita tenemos que$\left|A/H\right|=\left|G:\mathrm{Stab}_{G}(B)\right|$; como$B$es una órbita debajo$H$, es inmediato que$H \leqslant \mathrm{Stab}_{G}(B)$y por lo tanto que$\left|A/H\right| \leqslant |G:H|$.

Como nota al margen, en realidad se puede demostrar que$\mathrm{Stab}_{G}(B)=H \mathrm{Stab}_{G}(a)$.

Espero que esto ayude.