Dejar sea el grupo de simetrías del cubo, y considere la acción de en el conjunto de aristas del cubo. Determinar el estabilizador de un borde y su órbita. Por lo tanto, calcule el orden de .
El grupo simétrico actúa en el set , y por lo tanto actúa sobre por . Determinar las órbitas de en .
nota: cuando me acerco a la primera parte, debería ser obvio que la órbita contiene 12 elementos ya que un borde puede ir a cualquier otro borde a través de la rotación y la combinación de rotación, pero no sé cómo mostrar esto de manera organizada. Por ejemplo, si decido usar los ejes a través del centro de las caras opuestas del cubo como mis ejes de rotación y los llamo a, b, c, ¿cómo puedo describir el tipo de rotación que envía el borde original a otros usando abc para que cada caso se considera y no hay repetición? Y la misma pregunta para el estabilizador. Me parece que muchas rotaciones eventualmente pueden devolver el borde a su lugar original, pero no sé cómo categorizarlas y reconocer aquellas que son esencialmente de la misma propiedad.
PD: Puede ser un poco problemático, pero estaría muy agradecido si pudiera responder con un boceto del cubo para que pueda entenderlo mejor.
Es suficiente para mostrar que cualquier borde se puede rotar en uno de los bordes vecinos; al componer tales operaciones, puede mover cualquier borde a cualquier otro borde. Para girar una arista hacia una arista vecina, gire a través de sobre un eje que pasa por el vértice que comparten.
Para que una arista gire sobre sí misma, el eje debe pasar por el centro de la arista y el ángulo debe ser ; este es el único tipo de rotación que deja un segmento de línea invariable, aparte de una rotación sobre un eje a lo largo del segmento de línea, que no es una opción en este caso.
Zev Chonoles
X*Xfueusuario54515