Quiero expresar los estados propios degenerados del oscilador armónico isotrópico tridimensional escritos como estados propios deL2
yLz
, en términos de los estados propios cartesianos|norteXnorteynortez⟩
para el primer estado excitado, pero no estoy seguro de cómo.
Sé que el primer estado excitado es triplemente degenerado:norteX= 1
onortey= 1
onortez= 1
, entoncesnorte ≡norteX+nortey+nortez= 1
. Etiqueta el estado esférico| norteℓm ⟩
, ya que sabemos queLz= yo ℏ[aXa†y−a†Xay]
, tenemos
⟨norteXnorteynortez|Lz| norteℓm ⟩⟨norteXnorteynortez|Lz| norteℓm ⟩= metro ℏ⟨norteXnorteynortez| norteℓm ⟩= yo ℏ⟨norteXnorteynortez| [aXa†y−a†Xay] | norteℓm ⟩
lo que lleva a
m ⟨norteXnorteynortez| norteℓm ⟩= yo(norteX+ 1 )nortey−−−−−−−−−√⟨norteX+ 1nortey− 1nortez| norteℓm ⟩− yonorteX(nortey+ 1 )−−−−−−−−−√⟨norteX− 1nortey+ 1nortez| norteℓm ⟩
Por lo tanto,
m ⟨ 100 | norteyom ⟩m ⟨ 010 | norteyom ⟩m ⟨ 001 | norteyom ⟩= − yo ⟨ 010 | norteyom ⟩= + yo ⟨ 100 | norteyom ⟩= 0
Además, podemos descomponer
| norteyom ⟩
en
|norteXnorteynortez⟩
base
| norteyometro ⟩ =∑norteXnorteynortez|norteXnorteynortez⟩ ⟨norteXnorteynortez| norteyom ⟩
Entonces, por ejemplo, quiero descomponer
| 111⟩nℓm _ _
| 111 ⟩= | 100 ⟩ ⟨ 100 | 111 ⟩ + | 010 ⟩ ⟨ 010 | 111 ⟩ + | 001 ⟩ ⟨ 001 | 111 ⟩= | 100 ⟩ ⟨ 100 | 111 ⟩ + | 010 ⟩ ( yo ⟨ 100 | 111 ⟩ )= ( | 100 ⟩ + yo | 010 ⟩ ) ⟨ 100 | 111 ⟩
pero me quedé atrapado aquí. no se como llegar al resultado
| 111 ⟩ =12–√| 100 ⟩ +i2–√| 010 ⟩
De alguna manera
⟨ 100 | 111 ⟩
evalúa a
1 /2–√
.
Muchas gracias por adelantado.