Derivación completa del generador de rotaciones.

El libro donde se describe suficientemente pedagógicamente la derivación es Mecánica cuántica de Ballentine: un desarrollo moderno , capítulo 3. Voy a dar un bosquejo del capítulo de 30 páginas. (Cuidado, suprimo la notación vectorial)

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Las transformaciones del estado cuántico son expresables como transformaciones unitarias. La expansión de primer orden de una transformación unitaria en torno a la identidad nos da necesariamente$1- i \epsilon \hat K$dónde$\hat K$es un operador hermitano. Simplemente considerando las transformadas galileanas de las coordenadas 3D usuales (es decir, transformaciones no cuánticas ), podemos derivar las relaciones de conmutación de estos generadores infinitesimales que deberían aplicarse también en el caso de transformaciones de estados cuánticos.

Entonces tenemos diez generadores infinitesimales del grupo galileano y sus relaciones de conmutación. Digamos que llamamos$\hat H$el generador infinitesimal de traslación del tiempo y postulamos el operador de posición$\hat Q$y operador de velocidad$\hat V$y con solo exigir

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\langle\hat{Q}\rangle = \langle\hat V\rangle$$
obtenemos $$\hat{V} = i [\hat H, \hat Q]$$ y con requisitos similares podemos recuperar un gran conjunto de relaciones de conmutación entre los operadores de posición y velocidad y los generadores infinitesimales. Digamos que llamamos $G$el operador que le da a la partícula un "impulso" infinitesimal en el espacio de velocidad. Podemos derivar que $$[\hat G, \hat Q]=0$$ A cambio, por consideraciones físicas de grados de libertad podemos identificar $\hat Q=\hat G$. De manera similar, bajo los supuestos de que no hay grados de libertad internos, el operador $\hat Q \times \hat P$van ser identificados con el generador de rotaciones $\hat J$por las mismas relaciones de conmutación con los restos. Suponiendo grados de libertad internos nos da las relaciones de conmutación un operador de espín (es decir $\hat S = \hat J - \hat Q \times \hat P$) debe cumplir.

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Pero cuidado, hay advertencias. Cuando la situación física no posee simetría de traslación (es decir, existe un campo potencial en el que se mueve una partícula), la relación general entre$\hat{V}$y$\hat{P}$no es lo que esperarías

$$\hat P = M \hat V + A(\hat Q)$$ dónde $A(\hat Q)$corresponde hasta el factor del vector potencial del campo magnético. Entonces $\hat Q \times \hat P$ no es el momento angular en el sentido clásico sino en el sentido del espacio de fase de la mecánica hamiltoniana.

Esto subraya claramente el hecho de que el generador infinitesimal de rotaciones no puede definirse como momento angular total . Más bien, se debe hacer un análisis como el realizado por Ballentine para comprender completamente el significado de los operadores.