¿Rotación de las funciones propias del momento angular?

Question

¿Rotación de las funciones propias del momento angular?

SuperCiocia

Estoy luchando por entender este ejemplo aparentemente obvio en mis notas de teoría de grupo:

ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Dónde están los $e^{i\phi}$ y $e^{-i\phi}$ ¿De dónde provienen los factores?

yo se que el $m_l$ = -1,0 y +1 estados propios de momento angular tienen el $\phi$ dependencia incorporada en un factor exponencial complejo de la misma forma... Pero si la $\phi$ habrá una variable? ¿A diferencia de un ángulo de rotación fijo?

kyle kanos

hiperfísica.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydazi.html#c2

joshfísica

¿Puede aclarar lo que quiere decir con esto: "Pero, ¿debería el ϕ ser una variable? ¿A diferencia de un ángulo de rotación fijo?"

kyle kanos

Técnicamente hablando, en realidad es

\exp [- i m_{ℓ} ϕ]

$\exp[-im_\ell\phi]$ dónde

m_{ℓ} \in (- 1, 0, 1)

$m_\ell\in(-1,0,1)$ .

Adán

Creo que estás confundiendo la variable de

Y_{l m} (θ, ϕ)

$Y_{lm}(\theta,\phi)$ y el ángulo (fijo) de la rotación (aquí

Y_{l m} (θ, ϕ) = ⟨ θ, ϕ | l, m ⟩

$Y_{lm}(\theta,\phi)=\langle \theta,\phi|l,m\rangle$ ). Reformulemos tu pregunta usando una rotación de ángulo.

α = - φ

$\alpha=-\varphi$ (

ϕ

$\phi$ es una variable, mientras que

φ

$\varphi$ es el parámetro de la rotación). Entonces la rotación de la función de onda está dada por

Y_{l m} (θ, ϕ) \to e^{- i m φ} Y_{l m} (θ, ϕ)

$Y_{lm}(\theta,\phi)\to e^{-im\varphi}Y_{lm}(\theta,\phi)$ .

Respuestas (1)

¿Rotación de las funciones propias del momento angular?

¿Puede aclarar lo que quiere decir con esto: "Pero, ¿debería el ϕ ser una variable? ¿A diferencia de un ángulo de rotación fijo?"
Técnicamente hablando, en realidad es $\exp[-im_\ell\phi]$ dónde $m_\ell\in(-1,0,1)$ .
Creo que estás confundiendo la variable de $Y_{lm}(\theta,\phi)$ y el ángulo (fijo) de la rotación (aquí $Y_{lm}(\theta,\phi)=\langle \theta,\phi|l,m\rangle$ ). Reformulemos tu pregunta usando una rotación de ángulo. $\alpha=-\varphi$ ( $\phi$ es una variable, mientras que $\varphi$ es el parámetro de la rotación). Entonces la rotación de la función de onda está dada por $Y_{lm}(\theta,\phi)\to e^{-im\varphi}Y_{lm}(\theta,\phi)$ .

JeffDror · Answer 1

Un estado propio de momento angular se puede rotar usando,

| j, metro ⟩ \to {mi}^{i \vec{S} \cdot \vec{θ}} | j, metro ⟩

$\begin{equation} \left| J , m \right\rangle \rightarrow e ^{ i {\vec S} \cdot {\vec \theta} } \left| J , m \right\rangle \end{equation}$ dónde

\vec{S}

${\vec S}$ es el

2 J + 1

$2J+1$ matrices dimensionales de Pauli. para girar

1 / 2

$1/2$ Por ejemplo,

\vec{S}

${\vec S}$ son solo las matrices ordinarias de Pauli,

\frac{1}{2} \vec{σ}

$\frac{1}{2} {\vec\sigma}$ . el vector

θ

$\theta$ parametriza la rotación. Dependiendo de la dimensionalidad del valor de

J

$J$ la dimensionalidad de

\vec{S}

${\vec S}$ es diferente.

para girar $1$ , el $S$ las matrices son:

S_{X} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}), S_{y} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{ccc} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{array}), S_{z} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

$\begin{equation} S _x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) , \quad S _y = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{array} \right) , \quad S _z = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{equation}$

Bajo una rotación sólo en el $z$ dirección ( ${\vec \theta} = (0,0, \phi )$ ) solo necesitamos $S _z$ y tenemos,

| 1, {metro}_{j} ⟩ \to {mi}^{i S_{z} ϕ} | 1, metro ⟩

$\begin{equation} \left| 1 , m _j \right\rangle \rightarrow e ^{ i S _z \phi } \left| 1 , m \right\rangle \end{equation}$ Desde

S_{z}

$S _z$ es diagonal es trivial exponenciar,

{mi}^{i S_{z} ϕ} = (\begin{array}{ccc} {mi}^{i ϕ} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {mi}^{- i ϕ} \end{array})

$\begin{equation} e ^{i S _z \phi } = \left( \begin{array}{ccc} e ^{ i \phi } & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e ^{ - i \phi } \end{array} \right) \end{equation}$ dando la transformación que deseas.

¿Rotación de las funciones propias del momento angular?

SuperCiocia

kyle kanos

joshfísica

kyle kanos

Adán

Respuestas (1)

JeffDror

Usar simetría para determinar la ruta de decaimiento de un electrón de hidrógeno de |300⟩|300⟩|300\rangle a |100⟩|100⟩|100\rangle

Derivación completa del generador de rotaciones.

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