Oscilador isotrópico 3D y álgebra de momento angular

I) Tal vez sea útil señalar que incluso si el sistema físico$S$no tiene simetría rotacional (por ejemplo, si el sistema$S$es un oscilador armónico anisotrópico 3D), entonces el grupo de Lie$G=SO(3)$de rotaciones todavía tiene una acción de grupo $G \times S \to S$en el sistema Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

En particular el espacio de Hilbert${\cal H}$del sistema todavía se convierte en una representación (posiblemente infinitamente dimensional, posiblemente reducible)$^1$de$G$.

y el espacio de Hilbert${\cal H}=\oplus_j{\cal H}_j$se puede descomponer en dimensiones finitas$G$- irresponsables ${\cal H}_j$.

Además, el momento angular$J_i$,$i\in\{1,2,3\}$, son los generadores del álgebra de Lie correspondiente$so(3)$.

II) Ahora bien, si el$J_i$,$i\in\{1,2,3\}$, pasa a conmutar con el hamiltoniano$H$, entonces uno puede decir más en la línea de lo que menciona el profesor de OP. En particular, el mencionado$G$-irrep${\cal H}_j$convertirse en espacios propios de energía (degenerados).

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$^1$Con respecto al valor único de la función de onda, consulte también, por ejemplo, esta pregunta de Phys.SE.