Estaba tratando de explicar las primeras ideas de forzar a un amigo y recordé la construcción de un modelo de aritmética no estándar usando la compacidad. Está claro que si empiezas con un modelo transitivo contable (ctm) de , tomar la teoría de , agrega una constante al lenguaje y haces el mismo truco, terminas con otro modelo (no transitivo, no bien fundado) con un nuevo elemento denotado por .
Mi pregunta es,
¿Por qué esta construcción no proporciona una forma de
obtener un conjunto no construible? o violar ?
Póngalo en otra forma más honesta:
¿Por qué necesito desarrollar forzamiento para probar tal resultado de independencia?
Algunas reflexiones sobre esto:
En cualquier caso, me gustaria saber donde esta la obviedad de “agregar un nuevo elemento El argumento de la compacidad se rompe en primer lugar.
Repasemos el argumento habitual para el que se utiliza la compacidad.
sumamos una constante , y reclamamos algo como y y etcétera. Entonces todos los axiomas finitos se cumplirán en nuestra "estructura habitual", por lo que es consistente que para todos .
Pero, ¿qué sucede cuando intentas eso en un modelo de ? En primer lugar, ¿quién te dice que puedes encontrar "suficientes" elementos definibles como y los gustos de eso? Claro, es posible que pueda argumentar que su modelo es definible puntualmente, por lo que solo agrega para todas las definiciones.
Pero en ningún momento te contradices . solo afirmas eso será interpretado como un elemento no estándar, o más bien como un conjunto externamente mal fundado.
Esto es aún más claro cuando piensas en ultraproductos. Si toma un ultraproducto de modelos que satisfacen , el resultado siempre satisfará . Este es el teorema de Los.
Forzar esto no solo es más fácil de hacer directamente, sino que también obtiene la capacidad de preservar las sutilezas de su modelo. Lo que significa que no agrega ordinales a modelos transitivos. ¡Genial! Y la compacidad no tiene ninguna posibilidad de hacer eso.
asaf karaguila