Mostrando que κκ\kappa es débilmente compacto en ultrapotencia.

Suponer k es medible. Al tratar de mostrar que hay muchos cardenales débilmente compactos debajo de él, rápidamente reduje el problema para mostrar que { α < k : α es débilmente compacto } ∈ tu , dónde tu es el k -ultrafiltro no principal completo en k . Entonces solo necesito mostrar que k es débilmente compacto en el colapso transitivo de la ultrapotencia.

Esto parece prometedor para mí, pero no puedo ver cómo proceder. ¿Cómo puedo probar esto?

Pruebalo k tiene la propiedad débilmente compacta. Tenga en cuenta que k es el ultraproducto está representado por la función diagonal.
¿Sabes que el colapso transitivo de la ultrapotencia contiene todos los subconjuntos de k ?
@ReneSchipperus ¿Se mantiene solo si tu ¿es normal?
@EricWofsey Olvidé si alguna vez lo vi probado. No estoy seguro de cómo usar el hecho de todos modos.
@ReneSchipperus No estoy seguro de qué propiedad estás hablando. Estoy buscando una prueba relativamente directa de la definición de un cardenal débilmente compacto.
¿Cuál de las muchas definiciones de débilmente compacto está usando?
@AsafKaragila Satisfactorio k → ( k ) 2 2 ..

Respuestas (1)

Creo que la forma más fácil es pasar por la propiedad del árbol, ya que k permanece fuertemente inaccesible, esto implica una compacidad débil.

Dado que la ultrapotencia está cerrada bajo k -secuencias, si T es un k -árbol en METRO , es un k -árbol en V , tiene una sucursal ahi, y por cierre la sucursal esta en METRO .

¿A qué propiedad de cierre de la ultrapotencia te refieres?
Si tu es una medida normal en k , y METRO es V k / tu , entonces METRO está cerrado bajo k -secuencias.
Bien, veo eso. Pero entonces, ¿por qué no podemos simplemente tomar el conjunto homogéneo H ⊂ k de tamaño k y concluir que está en METRO ? permanecería homogéneo en METRO con el mismo tamaño.
Claro, eso también funcionaría.
Mostrando que κκ\kappa es débilmente compacto en ultrapotencia.
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