¿Puede una teoría probar (esquemáticamente) sus axiomas relativizados a un conjunto?

$\mathsf{ZFC}$ya tiene esta propiedad. Específicamente:

• El teorema de la reflexión muestra que todo modelo de$\mathsf{ZFC}$- incluso de$\mathsf{ZFC+\neg Con(ZFC)}$- contiene un modelo de$\mathsf{ZFC}$. (Este modelo podría no ser internamente un modelo de$\mathsf{ZFC}$, razón por la cual esto no es un absurdo obvio).

• El hecho de que la satisfacibilidad sea absoluta para$L$luego nos permite elegir un modelo específico, a través de la$L$-ordenando.

Los detalles son los siguientes:

Trabajando en$\mathsf{ZFC}$, corregir alguna enumeración estándar de los$\mathsf{ZFC}$axiomas y dejar$T_0$ser el segmento inicial más grande de esa enumeración que es consistente. Clásicamente, por supuesto, tenemos (bajo los supuestos habituales) que$T_0=\mathsf{ZFC}$; mientras tanto, tenga en cuenta que$\mathsf{ZFC}$demuestra "$T_0$es consistente" (trivialmente) así como "$\varphi\in T_0$" para cada$\varphi\in\mathsf{ZFC}$(por el teorema de la reflexión).

ahora desde$\mathsf{ZFC}$demuestra que$T_0$es consistente, podemos - en$\mathsf{ZFC}$- considerar$M=$el modelo de conjunto menos construible de$T_0$, donde "menor" se refiere al pedido estándar en$L$. Esto es probablemente en$\mathsf{ZFC}$un modelo de$T_0$, y así para cada$\mathsf{ZFC}$-axioma$\varphi$tenemos$\mathsf{ZFC}\vdash M\models\varphi$como se desee.