¿Cómo EXACTAMENTE la indefinibilidad de la verdad de Tarski interfiere con la definición de ⊨⊨\vDash para las clases adecuadas, y por qué no lo hace para los conjuntos?

Question

¿Cómo EXACTAMENTE la indefinibilidad de la verdad de Tarski interfiere con la definición de ⊨⊨\vDash para las clases adecuadas, y por qué no lo hace para los conjuntos?

lógica
teoría de conjuntos
Matemáticas
teoría de modelos

¿Por qué la teoría de Set es tan difícil?

Mi mente se está torciendo un poco con nociones relacionadas con la formalización $\vDash$ para conjuntos y clases en el $ZFC$ . El resultado final creo que es:

para conjuntos $A$ , podemos formalizar $\vDash$ en $ZFC$ (y un fragmento de él), y podemos hacer afirmaciones como $ZFC \vdash \forall \varphi \in T(A \vDash \ulcorner \varphi \urcorner)$ (dónde $T$ indica algún conjunto godelizado de oraciones tales como $ZFC$ )

Además, en la metateoría es bastante fácil probar que para cada fórmula $\varphi$ , $ZFC \vdash (A\vDash \ulcorner \varphi \urcorner) \iff \varphi^A$ (tiene que estar en la metateoría ya que estamos cuantificando sobre fórmulas reales).

Pero no se puede hacer lo mismo con las clases adecuadas. Para clases adecuadas, lo mejor que podemos hacer es apegarnos a las relativizaciones. $\varphi^M$ para una clase adecuada $M$ . La razón dada es "debido a la indefinibilidad de la verdad de Tarski". Tengo varias preguntas aquí:

Entonces, si ingenuamente reproduje la definición recursiva de la verdad de Tarski de todos modos y trato de definir $M \vDash \varphi$ en $ZFC$ , utilizando básicamente exactamente la misma técnica que para los conjuntos, ¿qué sale mal? Supongo que tiene que ver con el hecho de que estamos cuantificando sobre una clase adecuada. Pero cuando tenemos una sola clase adecuada $M$ , ¿Cuál es el problema? Me doy cuenta de que no podemos hacer $\forall M$ (dónde $M$ clases adecuadas), pero ¿cuál es el problema con decir $\forall a \in M$ (eso es, $\forall a M(a)$ dónde $M(x)$ es la fórmula definitoria de $M$ ) para ayudar a definir $\vDash \forall x \varphi(x)$ ? ¿Tiene que ver con el hecho de que las recurrencias tienen que ocurrir en el set y en relaciones bien fundadas?
fórmulas dadas $\varphi$ , la relativización $\varphi^M$ se define recursivamente. Así que de nuevo, arreglando $M$ clase adecuada, lo que nos impide hablar de $\ulcorner \varphi^M \urcorner$ , y por ejemplo, diciendo $ZFC \vdash \forall \varphi (ZFC(\varphi) \rightarrow \ulcorner \varphi^M \urcorner)$ . Tengo la sensación de que esta es una pregunta tonta, pero lo agradecería de todos modos. Editar: No importa, $\ulcorner \varphi^M \urcorner$ es solo un número y solo $ZFC \vdash \ulcorner \varphi^M \urcorner$ no tiene sentido sin un acompañamiento $\vDash$ en algún lugar. Sí, eso fue realmente estúpido.
Finalmente, la indefinibilidad de la verdad de Tarski, en un alto nivel, es la razón por la que no podemos definir la relación $\vDash$ en las clases adecuadas. ¿No debería aplicarse lo mismo a los conjuntos? Es decir, ¿por qué el hecho de que podamos definir $\vDash$ porque los conjuntos contradicen la indefinibilidad de la verdad de Tarski.

andreas blass

Para sus preguntas 1 y 3, consulte la última

2 / 3

$2/3$ más o menos de mi respuesta en mathoverflow.net/questions/87238 . No entiendo la pregunta 2, porque parece tener un número (en lugar de una fórmula) como consecuencia de una implicación.

¿Por qué la teoría de Set es tan difícil?

Sí 2. Estaba siendo estúpido. Edité mi respuesta para reflejar eso. Lo lamento. Así que corríjame si me equivoco, pero en la respuesta que vinculó, está tratando de decir que la recursión no puede realizarse porque la recursión debe realizarse en una relación similar a un conjunto (en

Z F C

$ZFC$ )? Así es como interpreto lo que dijiste acerca de que la "evidencia" es una clase adecuada. Si esto es correcto, ¿cómo es exactamente la relación aquí que no se establece? Si me equivoco, agradecería una aclaración en términos un poco más formales. Además, a menos que me lo haya perdido, no veo una respuesta para la pregunta 3 :(

asaf karaguila

El predicado de verdad para conjuntos es interno, mientras que para clases es externo. Todo lo que puede decir es que no puede probar que las fórmulas interna y externa sean las mismas, o en otras palabras, que la teoría y la metateoría concuerden en los números enteros.

andreas blass

La recursión sería en pares.

(ϕ, v)

$(\phi,v)$ , dónde

ϕ

$\phi$ es una fórmula y

v

$v$ es una función que asigna valores a todas las variables libres de

ϕ

$\phi$ . La relación (bien fundada pero lamentablemente no fijada) pone

(ϕ, v) ≺ (ϕ^{'}, v^{'})

$(\phi,v)\prec(\phi',v')$ si

ϕ

$\phi$ es una subfórmula propia de

ϕ^{'}

$\phi'$ . Para la pregunta 3, tenga en cuenta que, para definir la verdad en un conjunto

X

$X$ (en lugar de una clase adecuada), puede limitar

v

$v$ mapear variables en

X

$X$ , y luego

≺

$\prec$ es como un conjunto.

¿Por qué la teoría de Set es tan difícil?

Debo estar perdiendo algo aquí. Entiendo que para conjuntos la recursividad ahora funciona correctamente. Lo que ahora me confunde es: podemos estar seguros de que no hay otro truco inteligente para definir

⊨

$\vDash$ en las clases adecuadas (eludiendo el problema de la recursividad) debido a la indefinibilidad de la verdad de Tarski. Estoy tratando de entender por qué el teorema de indefinibilidad nos detiene para las clases adecuadas pero no para los conjuntos. Supongo que puedo entender cuándo es la clase adecuada

V

$V$ , pero no estoy seguro acerca de las subclases adecuadas

M \subseteq V

$M \subseteq V$ . Tal vez me estoy perdiendo algo, pero no entiendo cómo lo que escribiste responde a mi pregunta.

¿Por qué la teoría de Set es tan difícil?

@AsafKaragila Cuando dices interno versus externo, te refieres a formular

⊨

$\vDash$ en

Z F C

$ZFC$ vs en la metateoría? Pero, ¿por qué es externo para las clases? Supongo que puedo verlo por

V

$V$ pero ¿qué pasa con las subclases adecuadas?

M \subseteq V

$M \subseteq V$ ? ¿No hay todavía "espacio" de la misma manera que hay espacio para los decorados (si eso tiene sentido)? ¿Por qué necesitamos "salir"/hacerlo externo? Básicamente, no estoy seguro de por qué la indefinibilidad parece ser un problema para las clases pero no para los conjuntos. Tampoco estoy seguro de cómo se relaciona esto con las fórmulas internas y externas :(

el espacio es verde oscuro

@WhyIsSetTheorySoHard El teorema de Tarski implica que no hay "truco" para

V

$V$ (así que no hay truco para los modelos de clase adecuados en general), pero no es que no haya truco para ningún modelo de clase adecuado. Por ejemplo, si

0^{#}

$0^\#$ existe, hay una relación de satisfacción para

L

$L$ , por lo que son posibles relaciones de satisfacción para modelos de clase adecuados.

¿Por qué la teoría de Set es tan difícil?

¡Ah, por supuesto! Eso tiene mucho más sentido. Debería haberlo visto antes. Gracias por tu ayuda.

¿Por qué la teoría de Set es tan difícil?

@spaceisdarkgreen No quería abrir un hilo separado para esto, así que preguntaré aquí. Para cualquier subclase específica (adecuada)

M \subseteq V

$M \subseteq V$ , ¿podemos definir el predicado de satisfacción específicamente para

M

$M$ ? ¿O hay alguna clase adecuada?

M

$M$ Otro que

V

$V$ para el cual tampoco podemos definir un predicado de verdad específico?

¿Por qué la teoría de Set es tan difícil?

Supongo que los problemas de consistencia podrían obstruir el camino. Por ejemplo, en ausencia de grandes suposiciones cardinales tal vez, entonces no debería ser posible encontrar un predicado de verdad para

L

$L$ desde entonces obtendríamos

Z F C ⊢ [(L, \in) ⊨ Z F C]

$ZFC \vdash [(L, \in) \vDash ZFC]$

noah schweber

@WhyIsSetTheorySoHard Creo que es un poco incorrecto pensar en los problemas de consistencia como un obstáculo, o en términos de obstáculos en general, ya que ese lenguaje sugiere que el "predeterminado" es la definibilidad. El valor predeterminado es indefinible : si desea argumentar que algo es definible, necesita una razón. La "herramienta" para la definibilidad en el contexto del tamaño del conjunto se descompone claramente para cualquier clase adecuada.

noah schweber

(Algo relacionado con @WhyIsSetTheorySoHard, puede estar interesado en esta reciente publicación mía de MO).

Respuestas (1)

¿Cómo EXACTAMENTE la indefinibilidad de la verdad de Tarski interfiere con la definición de ⊨⊨\vDash para las clases adecuadas, y por qué no lo hace para los conjuntos?

Para sus preguntas 1 y 3, consulte la última $2/3$ más o menos de mi respuesta en mathoverflow.net/questions/87238 . No entiendo la pregunta 2, porque parece tener un número (en lugar de una fórmula) como consecuencia de una implicación.
Sí 2. Estaba siendo estúpido. Edité mi respuesta para reflejar eso. Lo lamento. Así que corríjame si me equivoco, pero en la respuesta que vinculó, está tratando de decir que la recursión no puede realizarse porque la recursión debe realizarse en una relación similar a un conjunto (en $ZFC$ )? Así es como interpreto lo que dijiste acerca de que la "evidencia" es una clase adecuada. Si esto es correcto, ¿cómo es exactamente la relación aquí que no se establece? Si me equivoco, agradecería una aclaración en términos un poco más formales. Además, a menos que me lo haya perdido, no veo una respuesta para la pregunta 3 :(
El predicado de verdad para conjuntos es interno, mientras que para clases es externo. Todo lo que puede decir es que no puede probar que las fórmulas interna y externa sean las mismas, o en otras palabras, que la teoría y la metateoría concuerden en los números enteros.
La recursión sería en pares. $(\phi,v)$ , dónde $\phi$ es una fórmula y $v$ es una función que asigna valores a todas las variables libres de $\phi$ . La relación (bien fundada pero lamentablemente no fijada) pone $(\phi,v)\prec(\phi',v')$ si $\phi$ es una subfórmula propia de $\phi'$ . Para la pregunta 3, tenga en cuenta que, para definir la verdad en un conjunto $X$ (en lugar de una clase adecuada), puede limitar $v$ mapear variables en $X$ , y luego $\prec$ es como un conjunto.
Debo estar perdiendo algo aquí. Entiendo que para conjuntos la recursividad ahora funciona correctamente. Lo que ahora me confunde es: podemos estar seguros de que no hay otro truco inteligente para definir $\vDash$ en las clases adecuadas (eludiendo el problema de la recursividad) debido a la indefinibilidad de la verdad de Tarski. Estoy tratando de entender por qué el teorema de indefinibilidad nos detiene para las clases adecuadas pero no para los conjuntos. Supongo que puedo entender cuándo es la clase adecuada $V$ , pero no estoy seguro acerca de las subclases adecuadas $M \subseteq V$ . Tal vez me estoy perdiendo algo, pero no entiendo cómo lo que escribiste responde a mi pregunta.
@AsafKaragila Cuando dices interno versus externo, te refieres a formular $\vDash$ en $ZFC$ vs en la metateoría? Pero, ¿por qué es externo para las clases? Supongo que puedo verlo por $V$ pero ¿qué pasa con las subclases adecuadas? $M \subseteq V$ ? ¿No hay todavía "espacio" de la misma manera que hay espacio para los decorados (si eso tiene sentido)? ¿Por qué necesitamos "salir"/hacerlo externo? Básicamente, no estoy seguro de por qué la indefinibilidad parece ser un problema para las clases pero no para los conjuntos. Tampoco estoy seguro de cómo se relaciona esto con las fórmulas internas y externas :(
@WhyIsSetTheorySoHard El teorema de Tarski implica que no hay "truco" para $V$ (así que no hay truco para los modelos de clase adecuados en general), pero no es que no haya truco para ningún modelo de clase adecuado. Por ejemplo, si $0^\#$ existe, hay una relación de satisfacción para $L$ , por lo que son posibles relaciones de satisfacción para modelos de clase adecuados.
¡Ah, por supuesto! Eso tiene mucho más sentido. Debería haberlo visto antes. Gracias por tu ayuda.
@spaceisdarkgreen No quería abrir un hilo separado para esto, así que preguntaré aquí. Para cualquier subclase específica (adecuada) $M \subseteq V$ , ¿podemos definir el predicado de satisfacción específicamente para $M$ ? ¿O hay alguna clase adecuada? $M$ Otro que $V$ para el cual tampoco podemos definir un predicado de verdad específico?
Supongo que los problemas de consistencia podrían obstruir el camino. Por ejemplo, en ausencia de grandes suposiciones cardinales tal vez, entonces no debería ser posible encontrar un predicado de verdad para $L$ desde entonces obtendríamos $ZFC \vdash [(L, \in) \vDash ZFC]$
@WhyIsSetTheorySoHard Creo que es un poco incorrecto pensar en los problemas de consistencia como un obstáculo, o en términos de obstáculos en general, ya que ese lenguaje sugiere que el "predeterminado" es la definibilidad. El valor predeterminado es indefinible : si desea argumentar que algo es definible, necesita una razón. La "herramienta" para la definibilidad en el contexto del tamaño del conjunto se descompone claramente para cualquier clase adecuada.
(Algo relacionado con @WhyIsSetTheorySoHard, puede estar interesado en esta reciente publicación mía de MO).

noah schweber · Answer 1

Creo que tienes las cosas en la foto un poco mal. (Para hablar libremente de clases, se realiza el siguiente análisis en $\mathsf{NBG}$ por simplicidad; como de costumbre, esto puede ser " $\mathsf{ZFC}$ -ified" directamente a costa de hacer todas las afirmaciones molestamente tortuosas y solo aplicables a clases definibles ).

A continuación, a menos que se indique lo contrario, "estructura" significará "conjunto transitivo o clase que contiene $\mathsf{HF}$ como un subconjunto considerado como un $\{\in\}$ -estructura". El requisito de que $\mathsf{HF}\subseteq M$ es realmente solo una forma exagerada de garantizar que la codificación de Godel funcione correctamente; si lo prefiere, puede exigir que $M$ satisfacer alguna teoría de conjuntos muy débil como $\mathsf{KP}$ (que de hecho implicará la contención de $\mathsf{HF}$ pero puede sentirse más natural) .

La distinción conjunto/clase realmente no interactúa con Tarski en absoluto. El teorema de indefinibilidad de Tarski se aplica a todas las estructuras, de tamaño de clase o conjunto:

Suponer $M$ es un conjunto o clase transitiva con $\mathsf{HF}\subseteq M$ , pensado como un $\{\in\}$ -estructura. Entonces $Th(M)$ , considerado como un subconjunto de $\omega$ de la manera obvia, no es definible libremente por parámetros en $M$ .

La talla de $M$ no juega ningún papel; lo que hace Tarski, independientemente del tamaño de $M$ , es límite donde una definición libre de parámetros de $Th(M)$ puede tomar lugar. Por ejemplo, tenemos:

Suponer $M,N$ son estructuras del tamaño de un conjunto o clase con $M\subsetneq N$ . Entonces el teorema de Tarski no excluye inmediatamente $Th(M)$ de ser definible libremente por parámetros en $N$ .

Lo único especial de $V$ es que no hay un "afuera" al que podamos acudir para obtener una definición de verdad libre de parámetros. Pero esa es la única manera $V$ difiere de una estructura de tamaño de conjunto aquí. De hecho, con las estructuras del tamaño de un conjunto, hay formas muy sencillas de "salir al exterior para obtener la teoría" ¡sin siquiera llegar al nivel de las estructuras del tamaño adecuado de la clase! Por ejemplo, supongamos $M\subseteq N$ son estructuras del tamaño de un conjunto. Dejar $M_N$ ser la expansión de $N$ por un nuevo predicado unario $U$ con $U^N=M$ . Tenga en cuenta que $M_M$ , aunque no tiene literalmente la misma estructura que $M$ , es biinterpretable con $M$ así que esto no siempre nos da más poder. Sin embargo:

Para cada estructura de tamaño de set $M$ , tenemos $Th(M)$ es definible libremente por parámetros en $N_M$ dónde $N=V_{height(M)+1}$ .

En realidad, esto es un exceso masivo, pero hace el punto necesario. Y la razón por la que esto no funciona para estructuras de tamaño de clase adecuado es simple y no tiene nada que ver con Tarski: si $M$ es una clase adecuada, no hay "nivel de la jerarquía acumulativa por encima $M$ " .

(Por cierto, ¡no me queda claro de inmediato si realmente necesitamos expandir el idioma!)

Esto nos deja con una pregunta importante importante pendiente: ¿cuándo es la teoría de una estructura de tamaño de clase definible libremente en función de los parámetros? $V$ ? Como se señaló anteriormente, Tarski no dice nada directamente aquí para las clases que no sean $V$ (o que no sean modificaciones menores de $V$ ). De hecho, hay un ejemplo simple de una estructura del tamaño de una clase adecuada cuya teoría es definible sin parámetros en $V$ : la clase de los ordinales , $\mathsf{Ord}$ . Esto es mucho menos complicado de lo que cabría esperar, y su teoría es, de hecho, definible libremente por parámetros en $(\mathbb{N};+,\times)$ ¡solo!

DE ACUERDO, $\mathsf{Ord}$ no se ajusta a nuestra imagen desde $\mathsf{HF}\not\subseteq\mathsf{Ord}$ . Tal vez una mejor cosa para mirar es lo que llamaré " $\mathsf{HF(Ord)}$ , "la estructura del tamaño de una clase obtenida al cerrar $\mathsf{Ord}$ bajo emparejamiento. Esto ahora es significativamente más complicado, por ejemplo, interpreta la verdadera aritmética de primer orden, pero sigue siendo extremadamente simple en comparación con otras estructuras en el contexto de la teoría de conjuntos, y en particular, su teoría todavía es definible sin parámetros en $V$ .

¿Cómo EXACTAMENTE la indefinibilidad de la verdad de Tarski interfiere con la definición de ⊨⊨\vDash para las clases adecuadas, y por qué no lo hace para los conjuntos?

¿Por qué la teoría de Set es tan difícil?

andreas blass

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asaf karaguila

andreas blass

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noah schweber

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noah schweber

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