Escuché la afirmación de que ZFC tiene un modelo contable en ZFC si ZFC es consistente. Por lo que puedo decir, esta es una consecuencia directa del teorema de completitud de Gödel y el teorema de Löwenheim-Skolem.
Sin embargo, tengo curiosidad por saber cuán cuidadoso debe ser con los detalles de contabilidad relacionados con los conjuntos y las clases adecuadas al formular el argumento... o si el problema simplemente no surge por una razón obvia que me falta.
entonces mi pregunta es doble
Cuando digo de manera no estándar un modelo sobre X , me refiero a un modelo cuyo universo es X. Digo de manera no estándar un modelo en X cuando la teoría de conjuntos fundamental utilizada para construirlo es la teoría de conjuntos X.
ZFC es una teoría de primer orden con un símbolo de relación , por el teorema de completitud de Gödel tiene un modelo. No estoy seguro de si este teorema nos promete la existencia de un modelo sobre un conjunto o si el modelo prometido podría ser un modelo sobre una clase adecuada.
Además, ZFC no tiene modelos finitos, ya que son todos distintos, donde denota el conjunto de potencia.
Supongamos por el bien del argumento que concluimos que ZFC tiene un modelo sobre una clase adecuada (usando ZFC como materia prima para construir el modelo). En ese caso, interpretamos como en ZFC. Entonces, hemos construido un modelo trivial, llamémoslo . el universo de es la clase de todos los conjuntos en ZFC. Es posible que al aplicar el teorema de completitud, hubiésemos obtenido un modelo sobre un conjunto, lo que haría que este problema desapareciera. No estoy seguro. Supongamos que decidimos elegir como nuestro modelo, incluso si es una elección inconveniente.
La segunda vertiente del argumento, por lo que sé, es una aplicación del teorema (hacia abajo) de Löwenheim-Skolem. El teorema descendente de Löwenheim-Skolem no aborda explícitamente el límite del conjunto de [clase adecuada], por lo que me pregunto cómo funciona el argumento. Esta pregunta invoca a Löwenheim-Skolem como explicación de la existencia de modelos contables.
En la demostración del teorema de Löwenheim-Skolem esbozado en el artículo de Wikipedia , usamos el axioma de elección repetidamente para seleccionar elementos del universo que deben incluirse en el nuevo universo para el modelo que estamos construyendo .
Una lectura estricta del axioma de elección no promete nada sobre la capacidad de realizar elecciones arbitrarias sobre las clases adecuadas (y una función de elección no puede tener una clase adecuada como dominio), por lo que no estoy seguro de cómo obtener de mi automodelo trivial de ZFC a cualquier modelo cuyo universo sea un conjunto, por no hablar de un conjunto contable.
¿El teorema de completitud nos da un modelo sobre un conjunto de todos modos?
Sí. El teorema de completitud dice que toda teoría consistente tiene un modelo, y en este contexto, "modelo" se define como un modelo sobre un conjunto.
Si inicialmente elegimos un modelo sobre una clase adecuada, ¿podemos usar Löwenheim-Skolem?
Este es un problema sutil: ¿qué significa tener un modelo sobre una clase adecuada? El problema es que la definición recursiva habitual de lo que significa que una estructura satisfaga una fórmula no funciona cuando su estructura es una clase adecuada. Entonces, si tienes una estructura dónde es una clase adecuada, ni siquiera puedes afirmar en el idioma de ZFC.
Sin embargo, para cualquier oración individual , puedes afirmar , realizando la definición recursiva "a mano" en el caso específico de . Por lo general, cuando las personas hablan de "modelos de clase", lo que quieren decir es que hay un esquema de teoremas que dice que para cada axioma de ZFC, puedes probar que . Alternativamente, podría asumir que su modelo de clase tiene la propiedad especial de que realmente puede definir una relación de satisfacción de fórmula para él, pero esto rara vez es cierto en la práctica.
En cuanto a llevar a cabo un argumento de Löwenheim-Skolem para modelos de clase, puede hacerlo siempre que pueda definir la satisfacción con respecto a todas las fórmulas que le interesan. (Esto significa que puede llevarlo a cabo como de costumbre si su modelo de clase tiene una relación de satisfacción, o si no la tiene, solo puede llevarlo a cabo para obtener un submodelo que satisfaga una cantidad finita de axiomas particulares de ZFC, en lugar de todos los de ZFC .) El problema con el axioma de elección que usted señala se puede evitar usando el truco de Scott . Por ejemplo, cada vez que la prueba de Löwenheim-Skolem te haga elegir un elemento con alguna propiedad, en lugar de elegir solo un elemento, puedes elegir todoslos elementos con la propiedad deseada que tienen rango mínimo. Puede haber innumerables elementos de este tipo, por lo que es posible que esto no le proporcione un modelo contable, pero al menos lo reducirá a un modelo de tamaño establecido. Luego, puede usar Löwenheim–Skolem ordinario para llegar a un modelo contable.
Tenga en cuenta que en este sentido débil (esquema de teoremas) de "modelo de clase", ni siquiera necesita asumir que ZFC es consistente para obtener un modelo de clase de ZFC: es un modelo de clase de ZFC. El argumento anterior muestra que para cualquier subconjunto finito de los axiomas de ZFC, puede probar que hay un modelo (conjunto) de esos axiomas. Esto se conoce como el principio de reflexión . (Sin embargo, de manera crucial, este es un teorema separado para cada conjunto finito de axiomas, en lugar de un solo teorema con una variable cuantificada que representa un conjunto finito arbitrario de axiomas. Como resultado, no puede combinarlo con compacidad para concluir que ZFC es consistente .)
Wojowu