¿Conocemos el índice de la etapa mínima en el universo construible que es un modelo de ZFCZFCZFC?

Depende de lo que entiendas por "saber"$\lambda.$

Primero, obviamente puede dar una definición en la teoría de conjuntos: "el mínimo ordinal$\lambda$tal que$L_\lambda\models \mathrm{ZFC}\!"$(puede o no existir, por supuesto, pero si existe, entonces esta es una definición para ello).

Sin embargo, esto presumiblemente no es lo que querías decir. Sería bueno poder describir un buen pedido de tipo de pedido$\lambda$de alguna manera combinatoria agradable y simple. Desafortunadamente, eso probablemente no sea posible. Al respecto, usted preguntó si$\lambda$era computable (asumiendo que existe), y ciertamente no lo es.

Un ordinal computable (más conocido como ordinal recursivo) es el tipo de orden de un buen ordenamiento de$\omega$que pasa a ser un conjunto recursivo (una buena ordenación de$\omega$es una relacion en$\omega,$que es un subconjunto de$\omega\times\omega,$por lo que tiene sentido preguntar si es recursivo). Todo conjunto recursivo está en$L_\lambda,$por lo que cada ordinal computable está en$L_\lambda,$y, además, es un ordinal computable según$L_\lambda.$De ello se deduce que todo ordinal computable es contable de acuerdo con$L_\lambda.$En otras palabras, todo ordinal computable es menor que$\aleph_1^{\,L_\lambda},$que a su vez es menor que$\lambda.$

De hecho,$\lambda$es mucho más grande que el ordinal menos no computable, que se llama$\omega_1^{CK},$la Iglesia-Kleene$\omega_1.$El argumento anterior ya produce que$\omega_1^{CK}\lt \aleph_1^{\,L_\lambda}\lt\lambda,$pero$\lambda$es incluso más grande de lo que esto sugiere:

Puedes caracterizar$\omega_1^{CK}$como el menos ordinal$\eta$tal que$L_\eta$satisface la teoría de conjuntos de Kripke-Platek (KP), que es una versión muy debilitada de ZF (sin el axioma del conjunto de potencias y con separación y recolección solo para fórmulas con cuantificadores acotados). tu ordinal$\lambda$es mucho mayor que$\omega_1^{CK}$porque ZF es mucho más potente que KP. Por ejemplo,$A=\{\alpha\lt\lambda\mid L_\alpha\models KP\}$es un subconjunto ilimitado de$\lambda$y tiene tipo de orden$\lambda;$este conjunto$A$es una clase adecuada de acuerdo con$L_\lambda,$y el ordinal$\omega_1^{CK}$es el menor miembro de$A.$

Por cierto, probablemente valga la pena señalar explícitamente que$\lambda$es contable si existe, y que la existencia de$\lambda$equivale a la existencia de un modelo bien fundamentado de ZF.

Anexo 1: He aquí por qué$\lambda$no es un ordinal recursivo y, de hecho, es mayor que$\omega_1^{CK}:$

Asumir$\lambda$existe Si$\alpha$es un ordinal recursivo, entonces$\alpha$es el tipo de orden de algún bien ordenado recursivo (por lo tanto, aritmético)$W.$De ello se deduce que hay una fórmula$\phi$en el lenguaje de la teoría de números tal que, para todos$m, n\lt\omega,$tenemos eso$mWn$tiene iff$N\models\phi(m,n),$dónde$N$es el modelo$\langle\omega;+,\cdot;\lt\rangle.$El modelo$N$pertenece a$L_\lambda,$y, para cualquier número específico$m$y$n,$ $N\models\phi(m,n)\iff L_\lambda\models\,"\!\!N\models\phi(m,n)\!".$Así que la misma definición que hemos encontrado define$W$en el mundo real define, en$L_\lambda,$el mismo conjunto$W.$Resulta que$W\in L_\lambda.$

Desde$W$es un buen ordenamiento en el mundo real, debe ser un buen ordenamiento en$L_\lambda$(cada subconjunto no vacío en$L_\lambda$tiene un elemento mínimo, ya que todo subconjunto tiene un elemento mínimo).

Ahora,$L_\lambda\models \text{ZFC},$entonces, en$L_\lambda,$todo buen orden es orden-isomorfo a un ordinal. De ello se deduce que el tipo de orden de$W,$cual es$\alpha,$pertenece a$L_\lambda;$en otras palabras,$\alpha\lt\lambda.$

Puedes ver que, para cualquier ordinal recursivo$\alpha,$ $L_\lambda\models\,"\!\alpha\text{ is a recursive ordinal."}$(Hay dos formas de ver esto: (1) Usar el hecho de que los ordinales recursivos son los mismos que los ordinales aritméticos, y ya hemos visto que$\alpha$se puede definir mediante una fórmula aritmética en$L_\lambda.$O (2) Observe que desde$W$anterior es recursivo, en realidad podemos encontrar dos fórmulas$\phi$como arriba, uno$\Sigma^0_1$y el otro$\Pi^0_1.$Esas mismas fórmulas sirven para definir$W$en$L_\lambda,$entonces$W$es recursivo en$L_\lambda,$y$\alpha$sigue siendo su tipo de orden allí).

Además, en realidad es cierto que cualquier ordinal$\alpha$es recursivo si y solo si es recursivo de acuerdo con$L_\lambda.$(El mismo argumento que el anterior funciona a la inversa: ser recursivo es equivalente a ser definible por ciertos tipos de fórmulas, y esas fórmulas son absolutas entre$V$y$L_\lambda.)$

ZF demuestra que$\omega_1^{CK}$existe, y de lo anterior se sigue que$\omega_1^{CK}$como se calcula en$L_\lambda$es el mismo que el real$\omega_1^{CK}.$Por lo tanto$\omega_1^{CK}\lt\lambda.$

Anexo 2. Usted preguntó:

Estoy buscando una definición de$\lambda$eso es lo suficientemente claro como para ser independiente de cualquier axiomatización contextual. Por ejemplo,$\epsilon_0$se puede definir de esta manera. El ordinal de Church-Kleene incluso se puede definir de esta manera, si aceptamos que la computabilidad se puede definir de esta manera. Entiendo que lo que pido no es precisamente formal, pero creo que es suficientemente claro.

Sí,$\varepsilon_0$se puede definir combinatoriamente así. Sin embargo, diría que eso no se aplica a$\omega_1^{CK}.$

el ordinal$\omega_1^{CK}$es un ordinal muy complicado; es fácil perder de vista ese hecho ya que es contable y le damos un nombre breve y fácil de usar.

Pero hay ordenamientos de pozo recursivos cada vez más complejos que uno puede idear, y no existe una notación computable para ordinales que incluya todos los ordinales recursivos.

De hecho, decir eso$\omega_1^{CK}$es el menor ordinal no recursivo es esencialmente lo mismo que decir que es el menor ordinal$\eta$tal que$L_\eta\models\mathrm{ KP}$(ambas especificaciones dicen, más o menos, que es el mínimo ordinal que no se puede alcanzar desde abajo con un$\Sigma_1$fórmula). Esto pone esa definición a la par con la definición de$\lambda$como el menor ordinal tal que$L_\lambda\models\mathrm{ ZFC}.$

Si quieres definir$\lambda$de una manera más cercana en espíritu a la definición de$\omega_1^{CK}$como el ordinal menos no recursivo, creo que puede definirlo como el ordinal menos sin nombre, donde un nombre se define inductivamente como un símbolo para el conjunto vacío o un término en el lenguaje de la teoría de conjuntos con nombres como parámetros, imitando la definición de$L.$(Va a ser complicado hacer esto bien, asegurándose de pasar por ordinales lo suficientemente altos, y probablemente entrará en conflicto con el teorema de verdad de Tarski si intenta formalizarlo). Por supuesto, no puede probar en ZFC que este ordinal existe;$L_\lambda$es un modelo de ZFC en el que no existe.