¿Por qué los modelos de ZF que no son ωω\omega-modelos tienen fórmulas no estándar cuya longitud es "números naturales infinitamente grandes"?

Para cada natural$n$,$\phi_n$es una oración, donde$\phi_0$es$\forall x\,(x=x)$y$\phi_{n+1}$es$(\phi_n\land\phi_n)$. Por recursión, hay una oración en la teoría que codifica esta afirmación y así, para cualquier modelo, para cualquier$n$que, desde el punto de vista del modelo, es un número natural, hay un objeto del modelo que el modelo interpreta como la oración$\phi_n$. Esto se mantiene incluso si$n$no es estándar.

Por supuesto si$n$no es estándar, este objeto$\phi_n$no es realmente una fórmula, pero el modelo no puede ver eso.

Todo el "punto", se podría decir, de una$\omega$-modelo es que sus números naturales solo consisten en los números naturales "estándar". Dado que, por definición, cualquier modelo de ZFC debe contener un conjunto que "llamaría" como "$\mathbb{N}$", podemos preguntarnos sobre el contenido de este conjunto y si son o no solo los números naturales "estándar" o si también incluyen o no números no estándar.$\omega$-modelos' "$\mathbb{N}$"s solo incluyen números naturales estándar.

Así que si no estamos en una$\omega$-modelo, entonces eso significa que el modelo es "$\mathbb{N}$" debe contener algunos números no estándar. Donde eso se traduce en fórmulas no estándar es que las "fórmulas" también son un objeto que podemos formular dentro de la teoría de conjuntos y, por lo tanto, también pueden sufrir una "promoción" a través del principio de transferencia. Para ver esto, tenga en cuenta que (como solo una de un sinfín de formas posibles), podemos codificar una fórmula como un tipo específico de función de un número natural a$\{ 0, 1 \}$o mejor, en términos puramente de teoría de conjuntos, para$\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$, donde la interpretación de tal función es que indexa los bits de la fórmula cuando sus símbolos gráficos están codificados en algún tipo de codificación binaria, digamos, algo como ASCII o UNICODE, y luego toma eso como una cadena de binarios bits (0 o 1).

Pero tenga en cuenta ahora: debido a que tenemos números no estándar, ahora podemos tener algunos objetos similares a fórmulas que son funciones con dominio en un número no estándar. Tales cosas son fórmulas de longitud no estándar. Además, si no contuviera tales fórmulas, eso significaría que tendría naturales, que reconocería como tales y, sin embargo, eso no sería capaz de mapear a$\{0, 1\}$en formas que ZFC dice que pueden suceder, por lo que dicho modelo no sería un modelo de ZFC.

Finalmente, ¿cómo "se ve" tal fórmula, como una visualización? Bueno, imagine un rastro infinitamente largo de símbolos lógicos como normalmente pensaría, por ejemplo

desapareciendo para siempre , pero luego también, en algún lugar "allá afuera en la brumosa niebla de la brumosa tierra fronteriza entre lo definitivamente finito y lo definitivamente infinito", puedes soñar con otras cadenas de símbolos...

donde continúa ahora bidireccionalmente en ambos lados y, tal como se ve un natural no estándar, hay una densa colección de nubes lineales de estas cadenas infinitas doblemente abiertas. Sin embargo, el modelo, así como no puede ver que los naturales no estándar no son estándar, tampoco puede ver que esta cosa extraña no es una fórmula. Los símbolos (o mejor, los bits en la codificación) se indexarán únicamente por números no estándar, por ejemplo$\neg$arriba estará ubicado en, digamos,$(\mbox{some infinitely big 'root'}) - 6000^{\mathrm{googolplex}^\mathrm{moser}}$. Y, por supuesto, la fórmula debe ser generable por algún procedimiento que pueda llevarse a cabo en ZFC ordinario y extenderse a la longitud no estándar.