Cuando comenzamos a definir la lógica matemática (específicamente, lógica proposicional, de primer orden y de segundo orden) comenzamos a definir el concepto de lenguaje. Al principio esto se hace de forma puramente sintáctica. Hasta ahora, todo bien.
Ahora, en esta formalización hemos estado usando lo que se llama "metalógica" y "mematemática" (usamos conjuntos, funciones, recursividad, el proceso de razonamiento, etc.). Luego queremos adjuntar el significado de "verdad".
(*) En el lenguaje de la lógica proposicional lo hacemos mediante las tablas de verdad y las reglas de deducción. En el caso de la lógica de primer y segundo orden utilizamos el concepto de "estructura" (Un conjunto real donde interactúan las funciones y relaciones) y también las reglas de deducción con cuantificadores. Luego viene el concepto de "modelo" y mi problema.
Según tengo entendido, un modelo es una estructura en la que se satisface un sistema de axiomas, expresados en un lenguaje dado.
Pregunta : ¿Tengo razón?
Pero en este caso hemos definido el término "estructura" en términos del sentido metamatemático. Entonces, cuando decimos que estamos haciendo un modelo, hablamos también en términos de metamatemáticas.
Ahora hablemos del lenguaje de la teoría de conjuntos. Construimos este lenguaje para que sea lo suficientemente potente como para expresar todas las matemáticas.
los axiomas de luego se dan. Pero entonces, para dar significado a las expresiones en el lenguaje, en realidad necesitamos suponer que hay un modelo de . Significa que debemos considerar que existe una estructura que satisface los axiomas de (por supuesto, para ser coherente).
Suponiendo que los axiomas de son consistentes, entonces del lenguaje de la teoría de conjuntos y los axiomas de podemos construir todas las matemáticas.
Pregunta : dado que prácticamente todo se puede construir dentro del Lenguaje de la Teoría de Conjuntos (con ) y lo usamos como tal, ¿por qué se dice que es una metateoría?.
Pregunta : si todo puede ser expresado por medio del Lenguaje de la Teoría de Conjuntos (con ), Es decir, la mayoría de las matemáticas que usamos prácticamente, ¿por qué considerar un lenguaje diferente? Como por ejemplo el lenguaje de la teoría de grupos, el lenguaje de la aritmética, etc.
Además, al considerar un nuevo lenguaje y un sistema de axiomas, debemos hablar de un modelo que satisfaga los axiomas (para que sea consistente). Pero tal modelo es una estructura y la gente usa los axiomas de la teoría de conjuntos ( ) para construirlo. Esto me hace pensar en la siguiente pregunta.
Pregunta : cuando decimos que estamos modelando, ¿estamos trabajando fuera de la metateoría o estamos trabajando dentro del lenguaje de la teoría de conjuntos?
Agradezco mucho cualquier comentario sobre este tema y también cualquier observación que me ayude a entender estos conceptos.
Estás equivocado acerca de la lógica de segundo orden. Es tan un concepto sintáctico como la lógica de primer orden, pero la lógica en sí misma no es tan "agradable" como la lógica de primer orden, y la idea de una variable de segundo orden ya se refiere, hasta cierto punto, a la idea de un colocar.
Pregunta 3: Tienes la mitad de razón. Las reglas de deducción, están en el lenguaje, esas son reglas sintácticas porque las pruebas son sintácticas. Pero un modelo de una teoría es una interpretación al lenguaje, donde los axiomas son verdaderos.
Pregunta 2: Nos referimos a como una metateoría porque ese es el marco en el que podemos desarrollar la lógica (sintaxis y semántica juntas, incluso para lenguajes "grandes" que incluyen innumerables símbolos) y luego trabajamos en otras teorías dentro del universo de la teoría de conjuntos .
Esta es la teoría del universo, no es la teoría del cálculo, de la aritmética o de los grupos. Es la teoría subyacente. Y cuando discutimos sobre grupos, o sobre aritmética, o sobre lo que sea, discutimos en esas teorías relevantes . Y a veces hacemos argumentos sobre esas teorías , y un argumento sobre una teoría es un argumento en la meta-teoría (de ahí el prefijo meta).
Por ejemplo, el enunciado: " La teoría de grupos no prueba el enunciado es un enunciado sobre la teoría de grupos y, por lo tanto, es un enunciado de la metateoría. Sea o no la metateoría , o algo más, es irrelevante en este momento. Pero es una afirmación sobre la teoría de grupos.
Pregunta 3: Porque el lenguaje de la teoría de conjuntos es el metalenguaje. Cuando queremos hablar de la teoría de campos necesitamos dos operaciones y dos símbolos constantes. Ese es el lenguaje de los campos. El lenguaje de la teoría de conjuntos es el lenguaje del universo subyacente.
Esta pregunta es lo mismo que preguntar "Si la CPU funciona con códigos de operación, ¿por qué necesitamos C++, Java, Common Lisp o Haskell?"
Sí, ciertamente podemos expresar las cosas con . Pero eso oscurecería por completo cualquier posible significado de cualquier cosa que nos gustaría escribir, y tendrías que escribir expresiones increíblemente largas para casi cualquier cosa.
Pregunta 4: Si estamos de acuerdo en que es la meta-teoría, entonces los argumentos están esencialmente en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por supuesto, no escribimos las expresiones formales usando , pero nosotros podemos. Es insoportablemente largo, y si no está utilizando un asistente de prueba, también es inútil.
Por eso tenemos inglés.
asaf karaguila
Daniela Díaz
asaf karaguila