Cada modelo de ZFC tiene un elemento que es un modelo de ZFC

Question

Cada modelo de ZFC tiene un elemento que es un modelo de ZFC

lógica
teoría de conjuntos
Matemáticas
teoría de modelos

Jori

Consulte la respuesta de Joel Hamkins: https://mathoverflow.net/q/51786 .

Una sección de su argumento:

Supongamos que M es un modelo de ZFC. Así, en particular, ZFC es consistente. Si sucede que M es ω-estándar, lo que significa que solo tiene los números naturales estándar, entonces M tiene todas las mismas pruebas y axiomas en ZFC que tenemos en la metateoría, por lo que M acepta que ZFC es consistente. En este caso, por el teorema de Completitud aplicado en M, se sigue que hay un modelo m que M piensa que satisface ZFC, y así lo hace realmente.

No entiendo las siguientes dos inferencias:

1) "entonces M tiene todas las mismas pruebas y axiomas en ZFC que tenemos en la metateoría, por lo que M está de acuerdo en que ZFC es consistente"

2) "se deduce que hay un modelo m que M cree que satisface ZFC, y realmente lo hace"

Principalmente, para (1) M está de acuerdo en que ZFC es consistente porque es una declaración aritmética y esos son absolutos para $\omega$ -modelos, entonces, ¿qué tiene esto que ver con tener "todas las mismas pruebas y axiomas en ZFC que tenemos en la meta-teoría". Y para (2) ¿por qué $M \models (m \models \text{ZFC})$ implicar $m \models \text{ZFC}$ ? Después de todo, no asumimos $M$ era transitivo. solo se que el $\models$ -la relación es absoluta para los modelos transitivos de $\text{ZF-P}$ (¿Creo?).

Alessandro Codenotti

Para (2) creo que, dado que

M

$M$ es

ω

$\omega$ -estándar, qué

M

$M$ cree ser

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ y el "verdadero"

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ de la metateoría están de acuerdo, por lo que la estructura

m

$m$ eso

M

$M$ cree para satisfacer

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ en realidad satisface la verdadera

Z F C

$\mathsf{ZFC}$

Jori

@AlessandroCodenotti ¿Por qué el hecho de que M y el universo estén de acuerdo en qué es ZFC implica que el universo está de acuerdo con M en qué

⊨

$\models$ ¿medio?

Respuestas (1)

Cada modelo de ZFC tiene un elemento que es un modelo de ZFC

Para (2) creo que, dado que $M$ es $\omega$ -estándar, qué $M$ cree ser $\mathsf{ZFC}$ y el "verdadero" $\mathsf{ZFC}$ de la metateoría están de acuerdo, por lo que la estructura $m$ eso $M$ cree para satisfacer $\mathsf{ZFC}$ en realidad satisface la verdadera $\mathsf{ZFC}$
@AlessandroCodenotti ¿Por qué el hecho de que M y el universo estén de acuerdo en qué es ZFC implica que el universo está de acuerdo con M en qué $\models$ ¿medio?

asaf karaguila · Answer 1

asaf karaguila

La pregunta es qué quiere decir con un "modelo de ZFC". Si te refieres a los axiomas tal como los enumeramos , en la metateoría, esto puede o no ser lo mismo que los del universo de conjuntos en el que estamos mirando. Lo mismo puede decirse de las reglas de inferencia de FOL.

Pero dado que podemos codificar todo en números enteros, eso significa que si tenemos un modelo cuyos números enteros son estándar (léase: de acuerdo con la metateoría), estos problemas desaparecen.

¿Qué significa eso? Bueno, si el modelo era un modelo de ZFC, entonces prueba el teorema de completitud, y dado que el enunciado aritmético "ZFC es consistente" es verdadero, eso significa que podemos encontrar un modelo de ZFC, y que es el mismo ZFC que la de nuestra meta-teoría.

Es posible que desee argumentar que la relación de ese modelo podría no ser "correcta" de alguna manera, pero podemos hacer que este modelo sea contable internamente y luego la relación se codifica mediante un subconjunto de $\omega$ . Así que todo está bien.

Jori

No estoy seguro de tu última oración. ¿Quieres decir que dentro de M podemos codificar

m ⊨ ZFC

$m \models \text{ZFC}$ como un enunciado sobre reales (subconjuntos de

ω

$\omega$ ) porque se puede suponer que m es contable (de M)? Pero entonces 1) ¿no necesitamos que m sea contable hereditariamente? 2) son estas afirmaciones absolutas para

ω

$\omega$ -modelos? No estoy familiarizado con la codificación, excepto por lo que sé de en.wikipedia.org/wiki/Code_(set_theory) .

asaf karaguila

Adentro

M

$M$ podemos suponer que el modelo es

ω

$\omega$ con alguna relación en

ω

$\omega$ . Ahora, usted desde la definición de

⊨

$\models$ es recursiva (usando el diagrama atómico como parámetro), esta relación realmente está modelando ZFC en

ω

$\omega$ .

asaf karaguila

(En términos generales, cuando dice "codificación" en la teoría de conjuntos, se refiere a una biyección en algún objeto robusto, por ejemplo, un conjunto de ordinales. Esto significa que todos los pares, tuplas, etc., están codificados uniformemente en un solo conjunto de ordinales. )

Jori

Me he tomado un tiempo para digerir, las cosas están más claras ahora, pero: de

M ⊨ (m ⊨ {ZFC}^{M})

$M \models (m \models \text{ZFC}^M)$ y

{ZFC}^{M} = ZFC

$\text{ZFC}^M = \text{ZFC}$ , por qué se sigue que

m ⊨ ZFC

$m \models \text{ZFC}$ ? Porque

M

$M$ no es necesariamente transitiva, no podemos hacer uso del resultado de que

⊨

$\models$ es absoluto para los modelos transitivos de ZF-P, ¿correcto?

asaf karaguila

Si los dos modelos están de acuerdo

Z F C

$\sf ZFC$ , entonces necesariamente están de acuerdo en

ω

$\omega$ , por lo que coinciden en la definición de satisfacción.

Jori

¿Puedes ampliar? Creo que no entiendo muy bien ninguna de esas dos afirmaciones.

asaf karaguila

Si

M

$M$ y

V

$V$ no estoy de acuerdo en

ω

$\omega$ , entonces

M

$M$ tiene enteros no estándar y, por lo tanto, índices variables no estándar (piense

x_{n}

$x_n$ para no estándar

n

$n$ ), y por lo tanto axiomas no estándar en

Z F C

$\sf ZFC$ . Dado que los dos están de acuerdo en los axiomas, significa que están de acuerdo en

ω

$\omega$ también. Pero ahora mira la definición de la relación de satisfacción, es una definición recursiva en

ω

$\omega$ y en fórmulas. Como

M

$M$ y

V

$V$ están de acuerdo en todas estas cosas, están de acuerdo en la relación de satisfacción. Tenga en cuenta que

(m, \in)

$(m,\in)$ Puede que no sea un modelo de

Z F C

$\sf ZFC$ , pero hay alguna relación

E

$E$ tal que

(m, E) ⊨ Z F C

$(m,E)\models\sf ZFC$ .

Jori

Veo. Así que el argumento oculto es algo como:

M

$M$ tiene un modelo

m

$m$ que modela el ZFC real. Entonces por LS hacia abajo podemos asumir

m

$m$ es contable y por lo tanto sin pérdida de generalidad que el modelo es

ω

$\omega$ con alguna relación en

ω

$\omega$ . Luego, mediante la inspección de la definición de

⊨

$\models$ , en este caso, encontramos que es aritmética y por lo tanto, dado que

M

$M$ es un

ω

$\omega$ -modelo, en

V

$V$ tambien debemos tener eso

m

$m$ modelos ZFC reales.

asaf karaguila

Sí, esa es una buena manera de aclarar lo que está pasando.

Jori

Así que esto es un fortalecimiento considerable (no requiere que

M

$M$ es transitiva) del teorema habitual de que

⊨

$\models$ es absoluto para los modelos transitivos de ZF-P.

Jori

¿Es ese un teorema común? Porque no está en Kunen, por ejemplo, y Hamkins lo pasa por alto a pesar de que el resto de su argumento es bastante detallado.

asaf karaguila

Que las definiciones por recursión son absolutas si todos los conjuntos usados en la recursión son iguales entre los modelos (incluido el conjunto índice, aquí

ω

$\omega$ )? Esa es una observación más o menos inmediata que uno debe hacer al reflexionar sobre la naturaleza de

⊨

$\models$ .

Jori

Creo que lo que lo hace difícil para los principiantes es que realmente no podemos mostrar completamente la definición de

⊨

$\models$ como fórmula. Así que sí, esperaría que alguien lo mencionara, especialmente en un libro de texto. tampoco me resultó muy fácil ver eso

⊨

$\models$ es absoluta para los modelos transitivos de ZF-P y, para ser sincero, aunque puedo convencerme en un 99% de que la prueba que sé funciona, la complejidad de las fórmulas involucradas me impide estar realmente seguro (como lo haría decir por la infinidad de números primos). ¿Tal vez ves más que yo?

Jori

Hablando del tema: en la segunda parte de esa respuesta de Hamkins, asumimos que

M

$M$ no es

ω

$\omega$ -estándar, ¿por qué

M ⊨ ((V_{α})^{M} ⊨ ZFC)

$M \models ((V_\alpha)^M \models \text{ZFC})$ implicar

(V_{α})^{M} ⊨ ZFC

$(V_\alpha)^M \models \text{ZFC}$ , donde ZFC se refiere al ZFC real?

Cada modelo de ZFC tiene un elemento que es un modelo de ZFC

Jori

Alessandro Codenotti

Jori

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Jori

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Jori

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Jori

Jori

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Jori

Jori

¿Por qué los modelos de ZF que no son ωω\omega-modelos tienen fórmulas no estándar cuya longitud es "números naturales infinitamente grandes"?

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