Usando tasas relacionadas, ¿por qué podemos ignorar las dimensiones y considerar las tasas de cambio, cuando en situaciones aparentemente idénticas, debemos considerar ambas?

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Usando tasas relacionadas, ¿por qué podemos ignorar las dimensiones y considerar las tasas de cambio, cuando en situaciones aparentemente idénticas, debemos considerar ambas?

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tasas relacionadas

Sombra Ethan

Así que estaba preparando una lección sobre tasas relacionadas para la clase de calc 1 de la que soy TA y me di cuenta de que los dos problemas a continuación en la foto son básicamente idénticos: Dado un triángulo rectángulo, se conocen x, x', y, y' , Encuentre z' (o s').

El problema #1 y el $4 se resuelven de manera idéntica, pero en el problema #4, podemos usar un "truco" y simplemente considerar un triángulo rectángulo con catetos x'=25 y y'=60 e hipotenusa=s'.

Resolviendo para $s'... \\s'=\sqrt{x'^2+y'^2}=\sqrt{25^2+60^2}=\sqrt{4225}=65$

Esto implica que la distancia entre los autos cambia a un ritmo constante, independientemente de la ubicación de los autos. Pero este método no funciona para el aparentemente idéntico problema #1. Estoy en conflicto... ¿por qué este "truco" solo es viable para algunos casos de estos problemas y no para todos?

Revisé mis propias notas de calc 1 y este "truco" también podría usarse en otros problemas, por lo que no es algo único con los números en el n. ° 4.

ian

Es porque la posición inicial en el n.° 1 no es paralela a la velocidad, mientras que en el n.° 4 sí lo es. Observe que la tasa de cambio de la distancia desde el origen es igual a la velocidad multiplicada por el coseno del ángulo entre el vector de posición y el vector de velocidad. Entonces, a una velocidad constante, la única fuente de dependencia del tiempo es la dependencia del tiempo de este ángulo.

Sombra Ethan

@Ian, no sigo tu razonamiento con coseno y theta, pero creo que estás diciendo que hay más en 1 que en 4. Y particularmente, la situación en 1 no podría ocurrir si nuestros dos puntos viajar a lo largo de los ejes x e y comenzó desde el origen al mismo tiempo. Como se necesitarían 4 t unidades para que el punto en el eje y llegara a 12, pero en t=4, el otro punto estaría en x=8, no en x=5.

ian

Lo que quiero decir con "posición" en la configuración del n. ° 4 es la posición relativa, que comienza en el origen y luego se mueve a una velocidad constante. En el #1 la posición comienza en

(5, 12)

$(5,12)$ y luego se mueve a velocidad

(2, 3)

$(2,3)$ , y estos no son paralelos, por lo que el ángulo entre la posición y la velocidad cambia con el tiempo.

Respuestas (2)

Usando tasas relacionadas, ¿por qué podemos ignorar las dimensiones y considerar las tasas de cambio, cuando en situaciones aparentemente idénticas, debemos considerar ambas?

Es porque la posición inicial en el n.° 1 no es paralela a la velocidad, mientras que en el n.° 4 sí lo es. Observe que la tasa de cambio de la distancia desde el origen es igual a la velocidad multiplicada por el coseno del ángulo entre el vector de posición y el vector de velocidad. Entonces, a una velocidad constante, la única fuente de dependencia del tiempo es la dependencia del tiempo de este ángulo.
@Ian, no sigo tu razonamiento con coseno y theta, pero creo que estás diciendo que hay más en 1 que en 4. Y particularmente, la situación en 1 no podría ocurrir si nuestros dos puntos viajar a lo largo de los ejes x e y comenzó desde el origen al mismo tiempo. Como se necesitarían 4 t unidades para que el punto en el eje y llegara a 12, pero en t=4, el otro punto estaría en x=8, no en x=5.
Lo que quiero decir con "posición" en la configuración del n. ° 4 es la posición relativa, que comienza en el origen y luego se mueve a una velocidad constante. En el #1 la posición comienza en $(5,12)$ y luego se mueve a velocidad $(2,3)$ , y estos no son paralelos, por lo que el ángulo entre la posición y la velocidad cambia con el tiempo.

Proporción_áurea · Answer 1

Es porque la posición es proporcional a una velocidad constante ( $x=tx',y=ty'$ ) por lo que en el segundo ejemplo

\frac{X X^{'} + y y^{'}}{\sqrt{X^{2} + y^{2}}} = \frac{(t X^{'}) X^{'} + (t y^{'}) y^{'}}{\sqrt{(t X^{'})^{2} + (t y^{'})^{2}}} = \sqrt{X^{' 2} + y^{' 2} .}

$\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{(tx')x'+(ty')y'}{\sqrt{(tx')^2+(ty')^2}}=\sqrt{x'^2+y'^2.}$

Esta proporcionalidad no se cumple en el primer ejemplo.

ryang · Answer 2

Si $t$ denota tiempo, entonces $x$ y $y$ generalmente no se puede suponer que denote posición: en el primer ejemplo, la pareja dada $(x,y)=(5,12)$ de hecho no corresponde a un instante común/único sino a $(t_x,t_y)=(2.5,4).$

En el segundo ejemplo, los dos objetos parten del mismo punto, por lo que podemos definir $x$ y $y$ como sus posiciones.

Además, dado que todas las tasas de cambio en el segundo ejemplo son constantes, el segundo y el primer triángulo deben ser similares y, por lo tanto, el 'trampa' funciona como se desea.

$(x,y)$ todavía puede ser físicamente una posición en un solo momento en el primer problema. Simplemente no puedes haber llegado allí yendo a velocidad constante desde el origen. Honestamente, no entiendo muy bien lo que estás tratando de decir aquí.
Sí por posición me refiero con referencia al origen. En otras palabras, generalmente no es el caso que $x$ es un vector de posición, es decir, un escalar cuyo signo indica el lado del objeto del punto de referencia.
No por separado, no, pero se puede ver $(x,y)$ como la posición en el plano de un objeto en el n.° 1, y luego la diferencia entre esto y la posición relativa de los autos en el n.° 4 es que el objeto en el n.° 1 no puede haber ido a velocidad constante desde el origen para llegar a su estado actual, mientras que la posición relativa en #4 puede.
1. Cuando digo "generalmente no puede ser bla, bla", no quiero decir "siempre no es bla, bla". 2. Sí, la información proporcionada en el primer ejemplo colectivamente (incluidas las especificaciones de velocidad constante) significa que $x$ no es un vector de posición.
Oh, entiendo tu punto ahora, estás tratando de mapear el n. ° 1 en un par de autos, uno moviéndose horizontalmente y el otro moviéndose verticalmente, y señalando que para que estos números sucedan, entonces no pueden haber comenzado en el mismo punto. No entendí que estabas tratando de describir el #1 en términos de movimiento horizontal y vertical de dos objetos, como en el #4. Estaba pensando implícitamente en $(x,y)$ en #1 como la posición 2D de un objeto.
(Cont.) De todos modos, creo que una mejor ilustración de por qué son diferentes es mostrar una forma en que el n. ° 1 se puede describir como el n. ° 4, en lugar de una forma en que no se puede . Una forma de hacerlo es hacer que un automóvil en dirección este comience en $(-3,0)$ y un automóvil en dirección norte comienza en $(0,0)$ . Entonces llegarías a este escenario en $t=4$ .

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Sombra Ethan

ian

Sombra Ethan

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ryang

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