Encuentre a partir del primer principio, la derivada de

Primero, simplifica la expresión en la que estás tratando de diferenciar:

$$f(x) = ax^\frac12 + bx^\frac{-1}2.$$

Se vuelve simple aplicar la definición de la derivada:

$$\frac d{dx}f(x) = \lim_{h\to0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right]\\ = \lim_{h\to0}\left[\frac{a(x+h)^\frac12+b(x+h)^\frac{-1}2 - \left(ax^\frac12+bx^\frac{-1}2\right)}{h}\right]\\ =\lim_{h\to0}\left[\frac{a(x+h)^\frac12-ax^\frac12}h\right] + \lim_{h\to0}\left[\frac{b(x+h)^\frac{-1}2-bx^\frac{-1}2}h\right]$$

¿Puedes hacer el resto?

Dejar$t=x+\Delta x$.

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ $$=\lim_{t\to x} \dfrac {f(t)-f(x)}{t-x}$$ $$=\lim_{t\to x} \dfrac {\frac{at+b}{\sqrt{t}}-\frac{ax+b}{\sqrt{x}}}{t-x}=\lim_{t\to x} \frac{\sqrt x(at+b)-\sqrt t(ax+b)}{\sqrt{t}\sqrt x(t-x)}.$$ Aquí sumando y restando el término $\sqrt x(ax+b)$obtenemos $$=\lim_{t\to x} \frac{a\sqrt x(t-x)+(ax+b)(\sqrt x-\sqrt t)}{\sqrt{x}\sqrt t (t-x)}$$ $$=\lim_{t\to x} \bigg(\frac{a\sqrt x}{\sqrt x\sqrt t}-\frac{ax+b}{\sqrt{x}\sqrt t(\sqrt{x}+\sqrt t)}\bigg)=\frac{a}{\sqrt x}-\frac{ax+b}{2x\sqrt{x}}=\frac{a}{2\sqrt x}-\frac{b}{2x\sqrt{x}}$$ siempre que $x,\,t>0.$