¿Cómo hacer las integrales sobre la función delta multivariante?

La forma más sencilla de resolver esto, y en particular, la forma que minimiza las posibilidades de estropearlo, es cambiar a una sola coordenada dentro de la función delta. En su caso, es fácil: simplemente elija una representación polar adecuada: configure

$$\begin{align} q& = A\, r\cos(\theta)\\ p& = B\, r\sin(\theta), \end{align}$$ y requiere que $\frac{1}{2m}A^2 = \frac{k}{2}B^2$(a través de, por ejemplo, $A=1$, $B=1/\sqrt{mk}$) Llegar $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\int_{-\infty}^\infty \mathrm dq \,\delta(E-\frac{1}{2m}p^2-\frac{k}{2}q^2) &= B\int_0^\infty r\:\mathrm dr \int_0^{2\pi}\mathrm d\theta \, \delta(E-\frac{1}{2m}r^2) \\&= \frac{2\pi}{\sqrt{mk}}\int_0^\infty \delta(E-\frac{1}{2m}r^2) r\:\mathrm dr. \end{align}$$ A partir de ahí, cambie las variables a $u=r^2/2m$, de modo que $\mathrm du=r\,\mathrm dr/m$, que te da $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\int_{-\infty}^\infty \mathrm dq \,\delta(E-\frac{1}{2m}p^2-\frac{k}{2}q^2) &= \frac{2m\pi}{\sqrt{mk}}\int_0^\infty \delta(E-u) \mathrm du, \end{align}$$ y eso se reduce al resultado que cita ya que $\int_0^\infty \delta(E-u) \mathrm du=1$cuando sea $E>0$.

La idea aquí es usar la siguiente propiedad de la función delta:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(f(x))g(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{r}\frac{g(r)}{|f'(r)|}$$

Donde la suma varía sobre todos los valores de$r$tal que$f(r)=0$. Esto es básicamente lo que sucede cuando cambias las variables para realizar la integral.

si dejamos$f(p)=p^2/2m+kq^2/2-E$, entonces$f=0$en$p_{\pm}=\pm\sqrt{2mE-kmq^2}$, que es real sólo para$kq^2\leq 2E$. También tenemos$|f'(p_{\pm})|=\sqrt{(2E-kq^2)/m}$, siempre y cuando$kq^2\leq 2E$. Así, podemos realizar la$p$integral para obtener

$$2\int_{-\sqrt{2E/k}}^{\sqrt{2E/k}}\mathrm{d}q\,\sqrt{\frac{m}{2E-kq^2}}=\sqrt{\frac{4m}{k}}\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

¡Que es exactamente lo que tienes!

¡Espero que esto haya ayudado!