Un problema de secundaria sobre derivadas.

Question

Un problema de secundaria sobre derivadas.

pedro allen

Encontré este problema en un viejo libro de texto de secundaria de 1978:

Suponer que $f, g$ son polinomios con dominio e imagen todos de $\mathbb{R}$ . probar que si
${\begin{cases} F (X) \neq gramo (X) \\ F^{″} (X) \neq {gramo}^{″} (X) \end{cases} \forall X \in R$ $\begin{equation} \begin{cases} f(x)\neq g(x) \\ f''(x)\neq g''(x) \end{cases} \forall \hspace{.1cm} x\in \mathbb{R} \end{equation}$ hay exactamente una solución de $f'(x)=g'(x)$
Aclaración: Por $f'$ y $f''$ , se infieren las derivadas primera y segunda.

No estoy seguro de lo que debo hacer, pero se me han ocurrido algunas ideas vagas:

Los polinomios solo pueden ser de orden impar $\geq 3$ y deben tener el mismo coeficiente en su mayor potencia. (De lo contrario, surgiría un nuevo polinomio de orden impar, que se opondría a la suposición de que $f(x)\neq g(x)$ )
He comenzado asumiendo que no hay $x_0$ tal que $f'(x_0)=g'(x_0),$ lo que a su vez implica que la función $h(x)=f(x)-g(x)$ es estrictamente monótona. ¿Puedo considerar casos? ¿Sería útil?
También porque necesito $f''(x)\neq g''(x)$ , la función $q(x)=f'(x)-g'(x)$ también es estrictamente monótona.

También hay otras ideas que simplemente están flotando, pero no puedo abordar el problema lo suficientemente bien. ¿Tienes alguna idea?

Escena

Creo que considerar el contrapositivo sería útil.

Will Jagy

tales como: si hay dos o más

x

$x$ tal que

(f - g)^{'} (x) = 0,

$(f-g)'(x) = 0,$ El teorema de Rolle dice que hay un punto con

(f - g)^{″} (x) = 0,

$(f-g)''(x) = 0,$

Will Jagy

Otro caso, si siempre tenemos

(f - g)^{'} (x) \neq 0,

$(f-g)'(x) \neq 0,$ sabemos

(f - g)^{'}

$(f-g)'$ es de grado par. Pero entonces

(f - g)^{″}

$(f-g)''$ es de grado impar y tiene un cero.

cita con la libertad

Uno de los Q mejor presentados que he visto en mucho tiempo.

Respuestas (1)

Un problema de secundaria sobre derivadas.

tales como: si hay dos o más $x$ tal que $(f-g)'(x) = 0,$ El teorema de Rolle dice que hay un punto con $(f-g)''(x) = 0,$
Otro caso, si siempre tenemos $(f-g)'(x) \neq 0,$ sabemos $(f-g)'$ es de grado par. Pero entonces $(f-g)''$ es de grado impar y tiene un cero.
Uno de los Q mejor presentados que he visto en mucho tiempo.

xander henderson · Answer 1

No pretendo que esta sea la solución más elegante, pero se basa en su propio razonamiento (creo).

Hay al menos una solución para $f'(x) = g'(x)$ .

El teorema del valor intermedio implica que

F (X) - gramo (X) > 0 o F (X) - gramo (X) < 0

$f(x) - g(x) > 0 \qquad\text{or}\qquad f(x) - g(x) < 0$ para todos

x

$x$ . En cualquier caso,

f - g

$f-g$ es un polinomio real sin raíces, lo que significa que

f - g

$f-g$ es de grado par (ya que toda función polinomial real de grado impar tiene al menos una raíz real; esto también es una consecuencia del teorema del valor intermedio). La derivada de una función polinomial de grado par es

el polinomio cero, o
un polinomio de grado impar.

Pero si $(f-g)'$ es el polinomio cero, entonces $f''(x) = g''(x) = 0$ para todos $x$ . Por lo tanto $(f-g)'$ es un polinomio de grado impar. Como se señaló anteriormente, todo polinomio real de grado impar tiene una raíz real, por lo tanto $(f-g)'$ tiene al menos una raíz real.

(A) Por lo tanto, hay al menos un número real $x$ tal que $f'(x) = g'(x)$ .

Hay a lo sumo una solución para $f'(x) = g'(x)$ .

El teorema del valor intermedio implica además que

F^{″} (X) - {gramo}^{″} (X) > 0 o F^{″} (X) - {gramo}^{″} (X) < 0

$f''(x) - g''(x) > 0 \qquad\text{or}\qquad f''(x) - g''(x) < 0$ para todos

x

$x$ . Esto implica que

(f - g)^{'}

$(f-g)'$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente (esto es una consecuencia del teorema del valor medio). Una función estrictamente monótona puede tener como máximo una raíz.

(B) Por lo tanto, hay a lo sumo un número real $x$ tal que $f'(x) = g'(x)$ .

De lo que concluimos...

Las dos afirmaciones (A) y (B) son el resultado deseado.

¡Gracias! Parece tan obvio ahora, pero creo que me sentí un poco mareado y confuso. ¡Gracias por aclararlo!

Un problema de secundaria sobre derivadas.

pedro allen

Escena

Will Jagy

Will Jagy

cita con la libertad

Respuestas (1)

xander henderson

Hay al menos una solución para $f'(x) = g'(x)$ .

Hay a lo sumo una solución para $f'(x) = g'(x)$ .

De lo que concluimos...

pedro allen

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Encontrar la derivada de una función usando primeros principios

A partir de la gráfica de la derivada f′(x)f′(x)f'(x), haz un bosquejo de la función original f(x)f(x)f(x) y de la segunda derivada f′′( x)f″(x)f''(x)

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pedro allen

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Will Jagy

Will Jagy

cita con la libertad

Respuestas (1)

xander henderson

Hay al menos una solución paraF′( X ) =gramo′( X ) F ′ ( X ) = gramo ′ ( X ) f'(x) = g'(x).

Hay a lo sumo una solución paraF′( X ) =gramo′( X ) F ′ ( X ) = gramo ′ ( X ) f'(x) = g'(x).

De lo que concluimos...

pedro allen

Hay al menos una solución para $f'(x) = g'(x)$ .

Hay a lo sumo una solución para $f'(x) = g'(x)$ .