Cálculo diferencial de reglas de productos múltiples

Digamos$s=u^av^bw^t$entonces:

$$\ln(s)=\ln(u^av^bw^t)=\ln u^a+\ln v^b+\ln w^c=a\ln u+b\ln v+c\ln w$$ diferenciando ambos lados de t obtenemos: $$\frac{s'}{s}=a\frac{u'}{u}+b\frac{v'}{v}+c\frac{w'}{w}$$ ahora solo multiplica por$s$y ya tienes tu resultado.

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Tenga en cuenta que si tomamos el resultado:

$$y=fg\Rightarrow y'=f'g+fg'$$ podemos decir: $$y=fgh=(fg)h$$ $$y'=(fg)'h+(fg)h'=(f'g+fg')h+fgh'=f'gh+fg'h+fgh'$$ y sigue para cualquier producto de funciones, por lo que también puede derivar su resultado de esta manera

Regla de poder:$\dfrac d{du} u^a = au^{a-1}.$

Regla de la potencia y regla de la cadena:$\dfrac d {dt} u^a =au^{a-1} \cdot \dfrac{du}{dt}.$

Regla del producto:$(fgh\cdots)' = (f'gh\cdots) + (fg'h\cdots) + (fgh'\cdots) + \cdots$

Entonces tiene

$$\begin{align} s = {} & u^a v^b w^c \cdots. \\[8pt] \text{Now} & \text{ use the power rule, the chain} \\ & \text{rule, and the product rule.} \\[8pt] \frac{ds}{dt} = {} & \left( au^{a-1} \cdot \frac{du}{dt} \right) v^b w^c \cdots \\ & {} + u^a\left(b v^{b-1} \cdot \frac{dv}{dt} \right) w^c \cdots \\ & {} + u^a b^v \left( cw^{c-1} \cdot \frac{dw}{dt} \right) \cdots \\ & {} + \cdots \\[10pt] = {} & (u^a v^b w^c\cdots) \left( \frac a u\cdot\frac{du}{dt} + \frac b v \cdot \frac{dv}{dt} + \frac c w \cdot\frac{dw}{dt} + \cdots \right) \end{align}$$

Es más fácil si usa la notación de producto y suma.

Si$f(x) =\prod_{k=1}^n v_k(x)^{m_k}$entonces$g(x) =\ln(f(x)) =\sum_{k=1}^n m_k \ln(v_k(x))$entonces

$$\begin{align} \frac{f'(x)}{f(x)} &=(\ln(f(x))'\\ &=g'(x)\\ &=\sum_{k=1}^n m_k (\ln(v_k(x)))'\\ &=\sum_{k=1}^n m_k \frac{v_k'(x)}{v_k(x)}\\ \text{so}\\ f'(x) &=\sum_{k=1}^n m_k f(x)\frac{v_k'(x)}{v_k(x)}\\ &=\sum_{k=1}^n m_k \frac{v_k'(x)\prod_{j=1}^n v_j(x)^{m_j}}{v_k(x)}\\ &=\sum_{k=1}^n m_k v_k'(x)v_k(x)^{m_k-1} \prod_{j=1, j\ne k}^n v_j(x)^{m_j} \end{align}$$

Esto funciona tanto para negativo como para positivo.$m_k$.

Para$n=2$esto es$(v_1^{m_1}(x)v_2^{m_2}(x))' =m_1v_1'(x)v_1^{m_1-1}(x)v_2^{m_2}(x)+m_2v_2'(x)v_2^{m_2-1}(x)v_1^{m_1}(x)$.

Si$m_1=m_2=1$(regla del producto), esto es$(v_1(x)v_2(x))' =v_1'(x)v_2(x)+v_2'(x)v_1(x)$.

Si$m_1=2, m_2=-1$(regla del cociente), esto es$(v_1(x)/v_2(x))' =v_1'(x)/v_2(x)-v_2'(x)v_2^{-2}(x)v_1(x) =\dfrac{v_1'(x)v_2(x)-v_2'(x)v_1(x)}{v_2^{2}(x)}$.