Problema verbal de ecuación diferencial fuga de agua y=x2y=x2y=x^2

Hay dos principios en el trabajo aquí: 1) Principio de Bernoulli, que establece que

dónde$v=dy/dt = \dot{y}$es la velocidad a la que el fluido se hunde, y$y$es la altura del fuido. También,$g$es la aceleración de la gravedad$\approx 9.8 \text{m}/\text{sec}^2$.$v(0)$es la velocidad del fluido que sale del agujero en la parte inferior.

2)$A(y) v(y) = B v(0)$- esta es una declaración de que la cantidad de fluido que sale del contenedor es uniforme en todas partes - una especie de principio de conservación. Esto nos permite obtener una ecuación diferencial para la altura del fluido en cualquier momento:

Tenga en cuenta que usé el hecho de que el área del fluido$A(y)$a la altura$y$es$\pi y$para este contenedor.

En principio, tenemos una ODE simple que puede expresarse en términos de una integral sobre$y$; la integral, sin embargo, es bastante horrible (obtengo integrales elípticas sobre argumentos imaginarios). No obstante, podemos aprovechar el hecho de que el área del orificio en el fondo es muy pequeña, de modo que el área del fluido sobre el orificio en cualquier momento es mucho mayor que$B$. Por lo tanto, podemos descuidar la$1$en el denominador y obtener la DE aproximada:

Elegimos el signo negativo porque$y$está disminuyendo. La solución a esta ecuación toma la forma

Luego puede encontrar el tiempo aproximado en el que el contenedor está vacío configurando lo anterior en cero.

Si$V$es el volumen de agua dentro del tanque, entonces$\frac{dV}{dt} = -B$. Observa eso$V=\int_{0}^{2 \pi} d\phi \int_0^{\sqrt y} r^2 r dr$. Integre este último y sustituya el resultado en el primero para obtener una EDO para$\frac{dy}{dt}$. resolverlo usando$y(0) = 1$y$y(t) = 0$para encontrar lo deseado$t$.