Usando la fórmula de Dyson en la imagen de Schrödinger

Para la imagen de Schrödinger si tomas un estado$|\psi(t)\rangle$satisfaciendo la ecuación de schrodinger$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle$, y escriba un operador de evolución temporal U tal que$|\psi(t)\rangle=U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$, entonces esto da una ecuación de operador que$U$debe satisfacer a saber:

$$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}U(t,t_0)=HU(t,t_0)$$

La condición inicial es que$U(t_0,t_0)=1$.

Para$H$dependiente del tiempo$U$viene dada por la ecuación integral

$$U(t,t_0)=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')U(t',t_0)\,dt'$$

Esto se resuelve formalmente escribiendo$U$como una exponencial ordenada en el tiempo:

$$U(t,t_0)=\mathcal{T}\exp\left(\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')\,dt'\right)=1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')\,dt'+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t'} H(t') H(t'')\,dt''\,dt'\ldots$$

Lo anterior es la solución formal obtenida al sustituir en$U$por sí mismo en la ecuación integral, pero creo que es en el segundo volumen de Reed y Simon, en su sección sobre operadores dependientes del tiempo, muestran algunos casos donde esta solución es exacta, por ejemplo, si$H$es un operador acotado, y ciertos casos de la forma$H(t)=H_0+V(t)$Sin embargo, el último caso se realiza en la imagen interactiva.

La serie Dyson se analiza en el libro de Messiah sobre QM, como mencioné en el volumen de Reed y Simon.$2$para un poco más de rigor, y hay un buen pasaje en un libro que estoy leyendo de Bohm, Mostafazadeh, Koizumi, Niu, Zwanziger llamado "La fase geométrica en los sistemas cuánticos" que también lo analiza bastante bien.