¿La ecuación de Peskin y Schroeder. (4.26), U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t_1,t_2)U( t_2,t_3) = U(t_1,t_3) implica [H0,Pista]=0[H0,Pista]=0[H_0,H_{int}] = 0?

Question

¿La ecuación de Peskin y Schroeder. (4.26), U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t_1,t_2)U( t_2,t_3) = U(t_1,t_3) implica [H0,Pista]=0[H0,Pista]=0[H_0,H_{int}] = 0?

Física
operadores
hamiltoniano
evolución del tiempo
teoría cuántica de campos

Esteban Blake

La ecuación de Peskin y Schroeder (4.17) define el operador,

\begin{matrix} (4.17) & tu (t, t_{0}) = {mi}^{i (t - t_{0}) H_{0}} {mi}^{- i (t - t_{0}) H} \end{matrix}

$\begin{equation} U(t,t_{0})~=~e^{i(t-t_{0})H_{0}}e^{-i(t-t_{0})H} \tag{4.17} \end{equation}$ dónde

\begin{matrix} (4.12) & H = H_{0} + H_{En t} \end{matrix}

$H~=~H_0+H_{\text{int}}\tag{4.12}$ es el hamiltoniano completo y

H_{0}

$H_{0}$ es el Hamilton libre, ambos en el cuadro de Schrödinger. En la ecuación (4.26), Peskin y Schroeder establecen que el operador satisface la siguiente identidad,

\begin{matrix} (4.26) & tu (t_{1}, t_{2}) tu (t_{2}, t_{3}) = tu (t_{1}, t_{3}) \end{matrix}

$\begin{equation} U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{3})~=~U(t_{1},t_{3}) \tag{4.26} \end{equation}$ dónde

t_{1} \geq t_{2} \geq t_{3}

$t_{1}\ge t_{2}\ge t_{3}$ . ¿Implica esto que el hamiltoniano libre conmuta con la interacción

[H_{0}, H_{En t}] = 0 ?

$[H_{0},H_{\text{int}}]~=~0~ ?$ Aquí está mi argumento de que sí.

en la condición $t_{1}\ge t_{2}\ge t_{3}$ llevar $t_{2}=0$ . La identidad es entonces,

tu (t_{1}, 0) tu (0, t_{3}) = tu (t_{1}, t_{3}) .

$\begin{equation} U(t_{1},0)U(0,t_{3})=U(t_{1},t_{3})\ . \end{equation}$ Sustituye la definición,

{mi}^{i t_{1} H_{0}} {mi}^{- i t_{1} H} {mi}^{- i t_{3} H_{0}} {mi}^{i t_{3} H} = {mi}^{i (t_{1} - t_{3}) H_{0}} {mi}^{- i (t_{1} - t_{3}) H}

$\begin{equation} e^{it_{1}H_{0}}e^{-it_{1}H}e^{-it_{3}H_{0}}e^{it_{3}H}=e^{i(t_{1}-t_{3})H_{0}}e^{-i(t_{1}-t_{3})H} \end{equation}$ y simplificar para obtener,

{mi}^{- i t_{1} H} {mi}^{- i t_{3} H_{0}} = {mi}^{- i t_{3} H_{0}} {mi}^{- i t_{1} H}

$\begin{equation} e^{-it_{1}H}e^{-it_{3}H_{0}}=e^{-it_{3}H_{0}}e^{-it_{1}H} \end{equation}$ con

t_{1} \geq 0 \geq t_{3}

$t_{1}\ge 0\ge t_{3}$ . Poner

t_{1} = t

$t_{1}=t$ y

t_{3} = - t

$t_{3}=-t$ .

{mi}^{- i t H} {mi}^{i t H_{0}} = {mi}^{i t H_{0}} {mi}^{- i t H}

$\begin{equation} e^{-itH}e^{itH_{0}}=e^{itH_{0}}e^{-itH} \end{equation}$ Expandiendo a segundo orden en

t

$t$ ,

(1 - i t H - \frac{t^{2}}{2} H H) (1 + i t H_{0} - \frac{t^{2}}{2} H_{0} H_{0}) = (1 + i t H_{0} - \frac{t^{2}}{2} H_{0} H_{0}) (1 - i t H - \frac{t^{2}}{2} H H)

$\begin{equation} (1-itH-\frac{t^{2}}{2}HH)(1+itH_{0}-\frac{t^{2}}{2}H_{0}H_{0})= (1+itH_{0}-\frac{t^{2}}{2}H_{0}H_{0})(1-itH-\frac{t^{2}}{2}HH) \end{equation}$ da como resultado,

H H_{0} = H_{0} H

$\begin{equation} HH_{0}=H_{0}H \end{equation}$ de modo que

[H_{0}, H]_{-} = 0

$[H_{0},H]_{-}=0$ . Ahora

H = H_{0} + H_{i n t}

$H=H_{0}+H_{int}$ por lo que el hamiltoniano libre debe conmutar con la interacción.

[H_{0}, H_{i norte t}]_{-} = 0

$\begin{equation} [H_{0},H_{int}]_{-}=0 \end{equation}$ En Peskin y Schroeder, el contexto de este material es el campo escalar que interactúa con el hamiltoniano,

H = \int d^{3} X (\frac{1}{2} π (t, X)^{2} + \frac{1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial X^{r}} \frac{\partial ϕ}{\partial X^{r}} + V (ϕ)) .

$\begin{equation} H=\int d^{3}x \left(\frac{1}{2}\pi(t,x)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial \phi}{\partial x^{r}}\frac{\partial \phi}{\partial x^{r}}+V(\phi)\right) \ . \end{equation}$ En la teoría clásica, el PB es,

[H_{0}, H_{i norte t}]_{PAG B} = - \int d^{3} X \frac{d H_{0}}{d π} \frac{d H_{i norte t}}{d ϕ} = - \int d^{3} X π \frac{d V}{d ϕ} = - \frac{d}{d t} \int d^{3} X V (ϕ (t, X))

$\begin{equation} [H_{0},H_{int}]_{PB}=-\int d^{3}x\frac{\delta H_{0}}{\delta \pi}\frac{\delta H_{int}}{\delta \phi}=-\int d^{3}x\ \pi\frac{dV}{d\phi}=-\frac{d}{dt}\int d^{3}x\ V(\phi(t,x)) \end{equation}$ Pasando a la teoría cuántica,

[H_{0}, H_{i norte t}]_{-} = - i \frac{d}{d t} \int d^{3} X V (ϕ (t, X))

$\begin{equation} [H_{0},H_{int}]_{-}=-i\frac{d}{dt}\int d^{3}x\ V(\phi(t,x)) \end{equation}$ de modo que

[H_{0}, H_{i n t}]_{-} = 0

$[H_{0},H_{int}]_{-}=0\$ implica la integral de

V (ϕ)

$V(\phi)$ es una carga conservada; ¿Es este también un resultado correcto?

Meng Cheng

No hay tal requisito en

H_{0}

$H_0$ y

H_{i n t}

$H_{int}$ . Debe ser un error tipográfico --- la definición correcta del operador de evolución en la imagen de interacción es

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ conjugado por

e^{- i H_{0} t}

$e^{-iH_0t}$ .

yolo123

Creo que es un error tipográfico.

jerry schirmer

Esto ya falla con simple massless

ϕ^{4}

$\phi^{4}$ teoría. Claramente,

ϕ^{4}

$\phi^{4}$ no puede viajar con

Π_{ϕ}

$\Pi_{\phi}$ , y por lo tanto no conmutará con el hamiltoniano.

alto

"¿Esto implica que el hamiltoniano libre conmuta con la interacción [H0,Hint]=0 ?" No, no lo hace.

Respuestas (3)

¿La ecuación de Peskin y Schroeder. (4.26), U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t_1,t_2)U( t_2,t_3) = U(t_1,t_3) implica [H0,Pista]=0[H0,Pista]=0[H_0,H_{int}] = 0?

No hay tal requisito en $H_0$ y $H_{int}$ . Debe ser un error tipográfico --- la definición correcta del operador de evolución en la imagen de interacción es $e^{-iHt}$ conjugado por $e^{-iH_0t}$ .
Esto ya falla con simple massless $\phi^{4}$ teoría. Claramente, $\phi^{4}$ no puede viajar con $\Pi_{\phi}$ , y por lo tanto no conmutará con el hamiltoniano.
"¿Esto implica que el hamiltoniano libre conmuta con la interacción [H0,Hint]=0 ?" No, no lo hace.

qmecanico · Answer 1

Árbitro. 1 escribe la fórmula correcta

\begin{matrix} (4.25) & tu (t, t^{'}) = {mi}^{i H_{0} (t - t_{0})} {mi}^{- i H (t - t^{'})} {mi}^{- i H_{0} (t^{'} - t_{0})}, t \geq t^{'}, \end{matrix}

$U(t,t^{\prime})~=~e^{iH_0(t-t_0)} e^{-iH(t-t^{\prime})}e^{-iH_0(t^{\prime}-t_0)} , \qquad t~\geq~ t^{\prime},\tag{4.25}$

que satisface

\begin{matrix} (4.26) & tu (t_{1}, t_{2}) tu (t_{2}, t_{3}) = tu (t_{1}, t_{3}), t_{1} \geq t_{2} \geq t_{3} . \end{matrix}

$U(t_1,t_2)U(t_2,t_3)~=~U(t_1,t_3) , \qquad t_1~\geq~ t_2~\geq~ t_3.\tag{4.26}$

Aquí $t_0$ es un instante inicial fiduciario arbitrario pero fijo donde concuerdan los operadores y estados en la imagen de Schrödinger , la imagen de Heisenberg y la imagen de interacción . Para $t\neq t_0$ , los tres cuadros ya no son los mismos, aunque siguen siendo unitario equivalente.

Para $t^{\prime}=t_0$ , ecuación (4.25) se simplifica a

\begin{matrix} (4.17) & tu (t, t_{0}) = {mi}^{i H_{0} (t - t_{0})} {mi}^{- i H (t - t_{0})} . \end{matrix}

$U(t,t_0)~=~e^{iH_0(t-t_0)}e^{-iH(t-t_0)}. \tag{4.17}$

Parece que OP reemplaza por error $t_0$ en la ec. (4.17) con un tiempo arbitrario $t^{\prime} \leq t$ . La ecuación resultante

tu (t, t^{'}) = {mi}^{i H_{0} (t - t^{'})} {mi}^{- i H (t - t^{'})} . (\leftarrow ¡Equivocado!)

$U(t,t^{\prime})~=~e^{iH_0(t-t^{\prime})}e^{-iH(t-t^{\prime})}. \qquad(\leftarrow \text{Wrong!})$

no es correcto

Referencias:

ME Peskin y DV Schroeder, Introducción a QFT; Sección 4.2.

una mente curiosa · Answer 2

El hecho de que

\begin{matrix} (1) & {tu}_{I} (t_{1}, t_{2}) {tu}_{I} (t_{2}, t_{3}) = {tu}_{I} (t_{1}, t_{3}) \end{matrix}

$U_I(t_1,t_2)U_I(t_2,t_3) = U_I(t_1,t_3)\tag{1}$ en la imagen de interacción no se basa en

H_{0}

$H_0$ y

H_{int}

$H_\text{int}$ desplazamiento, pero se puede derivar sin esa suposición de la ecuación de Tomonaga-Schwinger

i \partial_{t} {tu}_{I} (t, t_{0}) = H_{I} (t) {tu}_{I} (t, t_{0})

$\mathrm{i}\partial_t U_I(t,t_0) = H_I(t)U_I(t,t_0)$ con

H_{I} (t) := e^{i H_{0} t} H_{int} e^{- i H_{0} t}

$H_I(t):=\mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0 t}H_\text{int}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H_0 t}$ como

H_{int}

$H_\text{int}$ evolucionado por

H_{0}

$H_0$ y que esa ecuación tiene solución en serie de Dyson

{tu}_{I} (t, t_{0}) = T Exp (- i \int_{t_{0}}^{t} H_{I} (t^{'}) d t^{'})

$U_I(t,t_0) = \mathcal{T}\exp(-\mathrm{i}\int_{t_0}^{t}H_I(t')\mathrm{d}t')$ a partir del cual

(1)

$(1)$ se puede mostrar

la versión de $U_I$ dado por Peskin-Schröder (y algunos otros que probablemente copiaron de ellos) es incorrecto, la versión correcta es

{tu}_{I} (t, t_{0}) = {mi}^{i H_{0} t} {mi}^{- i H (t - t_{0})} {mi}^{- i H_{0} t_{0}}

$U_I(t,t_0) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0 t}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H(t-t_0)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H_0t_0}$ que se sigue de

ψ_{I} (t) := e^{i H_{0} t} ψ_{S} (t)

$\psi_I(t) := \mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0 t}\psi_S(t)$ y

ψ_{I} (t) = U_{I} (t, t_{0}) ψ_{I} (t_{0})

$\psi_I(t) = U_I(t,t_0)\psi_I(t_0)$ , dónde

_{S}

${}_S$ denota estados de Schrödinger. Esto obviamente también cumple

(1)

$(1)$ sin suposiciones adicionales.

Lê Dũng · Answer 3

Primero, tomó las expansiones de Taylor de segundo orden de $e^{-itH}$ y $e^{-itH_0}$ , entonces, si sus siguientes cálculos fueron correctos, $H$ y $H_0$ conmutarían entre sí solo al segundo orden de tiempo $t$ , no para todo orden de $t$ (o simplemente viaje aproximadamente).

Segundo, para 4 operadores $A,B,H,K$ :

A H B = A k B \to A (H - k) B = 0.

$AHB=AKB \rightarrow A(H-K)B=0.$ De esta relación podemos derivar

H = K

$H=K$ si (y solo si) para todo A, B (H, K permanecen sin cambios), la relación anterior siempre se cumple. En sus cálculos,

A = {mi}^{i t_{1} H_{0}}, B = {mi}^{i t_{3} H}, H = {mi}^{- i t_{1} H} {mi}^{- i t_{3} H_{0}}, k = {mi}^{- i t_{3} H_{0}} {mi}^{- i t_{1} H}

$A=e^{it_1H_0},B=e^{it_3H},H=e^{-it_1H}e^{-it_3H_0},K=e^{-it_3H_0}e^{-it_1H}$ Vemos eso,

A

$A$ y

K

$K$ aquí están relacionados entre sí (también para

B

$B$ y

H

$H$ ). Entonces, de la condición anterior, no podemos implicar

H = K

$H=K$ .

Por lo tanto, su resultado no es correcto.

$A$ y $B$ tener inversas. Entonces, a partir de $AHB=AKB$ , $A^{-1}AHBB^{-1}=A^{-1}AKBB^{-1}$ implica $H=K$ .
Además, para su primer punto, la igualdad de la serie de potencias se cumple para todos $t$ , y no hay otros términos de segundo orden de las expansiones de orden superior. Como, para dos series convergentes, $\sum_n a_n t^n = \sum_n b_n t^n \forall t$ si y solo si $a_n = b_n$ , el argumento en el OP sería correcto (usa $a_2=b_2$ ), si la forma dada de $U_I$ eran correctos.

¿La ecuación de Peskin y Schroeder. (4.26), U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t_1,t_2)U( t_2,t_3) = U(t_1,t_3) implica [H0,Pista]=0[H0,Pista]=0[H_0,H_{int}] = 0?

Esteban Blake

Meng Cheng

yolo123

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qmecanico

una mente curiosa

Lê Dũng

Esteban Blake

una mente curiosa

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