Relación de conmutación bajo ordenación temporal

1. Una prueba de la ec. (3): Todo viaje$^1$por definición bajo el símbolo de pedido de tiempo (normal, radial, etc.):

   $$T\left([A,B]\right)~=~0,\tag{A}$$ entonces la fórmula BCH simplifica $$T\left(e^Ae^B\right)~=~T\left(e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]+[\text{nested commutator terms}]}\right)~=~ T\left(e^{A+B}\right) ,\tag{B}$$ lo que prueba la ecuación buscada de OP. (3).

2. Otra prueba de la ec. (3): Usa la fórmula de Trotter .

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$^1$El punto principal es que el procedimiento de ordenación del tiempo$T$no lleva operadores a operadores, sino símbolos/funciones a operadores, cf. esta y esta publicación relacionada con Phys.SE y enlaces en ella.

En prácticamente todos los casos interesantes es$[H_0,H_1(t)]\ne 0$y así, no puedes escribir el operador de evolución temporal como el producto de dos exponenciales. En este caso particular, el enfoque a utilizar es el siguiente. Consideremos la ecuación de Schroedinger para el operador de evolución temporal$U=U(t,t_0)$

$$i\hbar\frac{\partial U}{\partial t}=(H_0+H_1(t))U.$$ vamos a poner $$U=e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}U_I(t,t_0)$$ y calculemos la ecuación de evolución para $U_I$. Por sustitución, obtenemos $$i\hbar\frac{\partial U_I}{\partial t}=e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}H_1(t)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}U_I.$$ Esto se puede resolver escribiendo $$U_I(t,t_0)=Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tH_I(t')dt'}$$ donde nos hemos puesto $H_I(t)=e^{\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}H_1(t)e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}$. Entonces finalmente $$U(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hbar}H_0(t-t_0)}Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tH_I(t')dt'}.$$ pero ahora tienes derecho a poner la primera exponencial dentro de la $T$operador y esto es lo que estabas pidiendo. Tenga en cuenta que todo esto se conoce en la literatura como imagen de interacción y es el punto de partida para hacer la teoría de la perturbación dependiente del tiempo.