Solución de la Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo para Operador Unitario

Mientras leía el Libro de Mecánica Cuántica de Sakurai, encontré la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para el Operador Unitario.

i ℏ ∂ ∂ t tu ( t , t 0 ) = H tu ( t , t 0 ) .

La solución a la ecuación anterior para el operador hamiltoniano independiente del tiempo es que

tu ( t , t 0 ) = Exp ⁡ [ − i H ( t − t 0 ) ℏ ] .

¿Alguien puede explicar cómo viene? tu ( t , t 0 ) es un operador, no una función.

Referencia -- Modern Quantum Mechanics (Sakurai) - 2nd Edition - Chapter 2 (Page No. - 70)

¿Qué quieres decir con cómo viene? ¿Quieres decir de dónde viene esa solución? Simplemente colóquelo en la ecuación de Schrödinger (es decir, tome su derivada con respecto al tiempo y multiplíquela por i ℏ , lo que da H tu ) o estás preguntando esto desde el punto de vista físico?

Respuestas (2)

El operador tu ( Δ t ) actúa sobre la función de onda inicial (digamos en t = 0 ) para dar la función de onda en cualquier momento posterior t . Como has mostrado en la pregunta.

tu ( Δ t ) = mi − i H Δ t
Digamos que la función de onda inicial era ψ ( X , 0 ) entonces la función de onda después Δ t el tiempo transcurrido vendrá dado por
ψ ( X , t ) = tu ( t ) ψ ( X , 0 )
O
ψ ( X , t ) = mi − i H t ψ ( X , 0 )
El problema que uno tiene aquí es que el operador está en el exponente. La solución es considerar la serie Mc Lauren. Para hacerlo más fácil digamos que Δ t es muy pequeño. Por eso
ψ ( X , t ) = ψ ( X , 0 ) − i t H ψ ( X , 0 )
Así es como el operador de evolución temporal actúa sobre las funciones de onda. Para descripciones cada vez más precisas, se pueden incluir términos de orden superior.

Espero que esto ayude.

tu ( t , t 0 ) sigue siendo un operador. El exponente debe entenderse como una expansión de Taylor.

Para un operador ilimitado, la expansión de Taylor no existe.
Bien, ¿cómo se llama en su lugar?
El exponencial de un operador autoadjunto se define a través del "cálculo funcional", no a través de una expansión de series, debido a problemas de dominio (convergencia).
Pero si tenemos que resolver la ecuación dependiente del tiempo, el operador de dispersión, que es un operador unitario, por ejemplo, viene dado por
tu = T Exp ⁡ − i ∫ H En t
con el operador de orden de tiempo T y la interacción hamiltoniana H En t . Y esta función exponencial es simbólica para
tu = 1 − i ∫ d t ′ H En t ( t ′ ) + ( − i ) 2 T ∫ d t ′ ∫ d t ″ H En t ( t ′ ) H En t ( t ″ ) + . . .
que es una expresión en serie.
Esa „exp” es formal o simbólica. La serie de Dyson es directamente definible, si el hamiltoniano está acotado en todo momento. Véase Reed & Simon, Vol. II, pág. 282, Th. X.69
Muy bien, lo tengo. Entonces lo malinterpreté en nuestra conferencia. Gracias.
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