El operador de evolución temporal en la imagen de interacción se puede escribir como:

$$U(t,t_{0})=e^{iH_{0}t}e^{-iH(t-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}$$ Usando esto podemos escribir: $$U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{0})=e^{iH_{0}t_{1}}e^{-iH(t_{1}-t_{2})}e^{-iH_{0}t_{2}}e^{iH_{0}t_{2}}e^{-iH(t_{2}-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}=e^{iH_{0}t_{1}}e^{-iH(t_{1}-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}$$ Entonces: $$U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{0})=U(t_{1},t_{0})$$

De la ecuación de Tomonaga-Schwinger:

$$i\partial_{t}U(t,t_{0})=H_{I}(t)U(t,t_{0})$$ Podemos escribir el operador de evolución temporal usando la condición inicial $U(t_{0},t_{0})=1$: $$U(t,t_{0})=1-i\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}H_{I}(t_{1})U(t_{1},t_{0})$$ Por iteración, obtenemos que: $$U(t,t_{0})=1+(-i)\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}H_{I}(t_{1})+(-i)^2\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})+(-i)^3\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\int_{t_{0}}^{t_{2}}dt_{3}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})H_{I}(t_{3})+\dots$$ es decir, $$U(t,t_{0})=\sum_{i=0}^{\infty}(-i)^n\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})\dots H_{I}(t_{n})$$

$$U(t,t_{0})=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-i)^n}{n!}\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\mathcal{T}\left(H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})\dots H_{I}(t_{n})\right)$$ $$U(t,t_{0})=\mathcal{T}\exp\left(-i\int_{t_{0}}^{t}dt'H_{I}(t')\right)$$

Una forma muy intuitiva de pensar en la exponencial ordenada en el tiempo es

$$U_{ba} = T \exp\left(-\mathrm i \int_a^b V(t) \, \mathrm dt \right) = \lim_{N \to \infty} \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_N) \Delta t} \cdots\, \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_2) \Delta t}\, \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_1) \Delta t} .$$ Esto es válido para $b \geq a$. $\Delta t$es igual $\frac{b-a}N$y $t_k = a + k\Delta t$. (No estoy seguro de si esta es la forma en que se define en el libro de Schwartz, pero tiene sentido que esto proporcione la expresión correcta para el propagador).

Su (7.49) ahora es inmediatamente obvio (para físicos;)). Para obtener (7.47), necesitamos entender que en$U_{ab}$(para$b \geq a$) los tiempos posteriores son, de hecho, no a la izquierda. En cambio,

$$U_{ab} = \bar T \exp\left(-\mathrm i \int_b^a V(t) \, \mathrm dt \right) = \bar T \exp\left(\mathrm i \int_a^b V(t) \, \mathrm dt \right) = \lim_{N \to \infty} \mathrm e^{\mathrm i\, V(t_1) \Delta t} \cdots\, \mathrm e^{\mathrm i\, V(t_N) \Delta t} .$$ Aquí, $\bar T$es anti-ordenamiento del tiempo. Inmediatamente ves $U_{ab} = U_{ba}^\dagger = U_{ba}^{-1}$. Ver por ejemplo aquí .

Schwartz está siendo descuidado. Recuérdese que la operación de ordenar el tiempo es singular en puntos coincidentes del espacio-tiempo, por lo que sus manipulaciones están, estrictamente hablando, lejos de estar justificadas. Su escepticismo no es inesperado. Pero sus ecuaciones son correctas de todos modos, a pesar de su demostración manual.

Un razonamiento un poco más convincente es el siguiente:

Escribir$H=H_0+V$, y deja

$$U(t,t_0)\equiv\mathrm e^{iH_0(t-t_0)}\mathrm e^{-iH(t-t_0)}\tag1$$

Ahora es trivial demostrar que$U(t,t_0)$satisface el mismo problema de valor inicial que

$$\mathrm{Texp}\left(-i\int_{t_0}^tV_I(s)\mathrm ds\right)\tag2$$ y por lo tanto acuerdan como operadores, $$U(t,t_0)\equiv\mathrm e^{iH_0(t-t_0)}\mathrm e^{-iH(t-t_0)}\equiv \mathrm{Texp}\left(-i\int_{t_0}^tV_I(s)\mathrm ds\right)\tag3$$

De la representación$(1)$debería poder probar los resultados afirmados por Schwartz, sin la necesidad de manipular objetos ordenados por tiempo. Esto debería permitirle probar sus afirmaciones con más rigor y confianza. Te dejo esto a ti.

Lectura adicional: la mayor parte de lo que desea saber se analiza en el ejercicio 9.5 del libro de Srednicki sobre QFT. Puede encontrar la solución elaborada detallada en línea.