Regularización de determinantes de dimensión infinita

Los valores propios y los vectores propios del continuo del operador de Schrödinger son los valores propios y los vectores propios limitantes de las aproximaciones de celosía discreta. Dado un operador de Schrödinger

$$H= \sum_i A_i \partial_i^2 + V(x_1,....,x_n)$$

Donde V es de la clase apropiada (suave es demasiado restrictivo --- también puede tener funciones delta y potenciales aleatorios, pero no conozco la mejor clase de función posible --- podría ser cualquier potencial integrable, es decir, cualquier potencial en absoluto EDITAR: por supuesto que no puede, ya que los niveles de energía -1 / r ^ n se escapan para localizarse en la parte superior del punto atractivo.La condición correcta en el potencial está involucrada, pero puede tomarlo como continuo para esta discusión), reemplaza las x por un enrejado cuadrado de espaciado$\epsilon$y de tamaño total L en cada dirección con límites periódicos, reemplace el$\nabla_i$por el enrejado$\nabla_i$

$$(H_L \psi) (x) = \sum_i {A_i\over \epsilon^2} (\psi(x_i + \epsilon) - 2\psi(x_i) + \psi(x_{i-1})) + V_L(x) \psi(x)$$

Donde V_L(x) es la integral sobre un volumen de red del continuo V(x) en un$\epsilon$caja centrada en x, y la segunda derivada discreta es la diferencia entre la diferencia hacia adelante y la diferencia hacia atrás.

Entonces los autovectores bajos aproximadamente suaves de$H_L$convergen a los valores propios de H en el límite continuo, y en cuanto a los vectores propios altos, a quién le importa, estos son artefactos de red. Estoy seguro de que es posible probar todo esto con rigor, aunque desde el punto de vista físico, si no fuera así, la ecuación de Schrödinger sería físicamente sospechosa.

Puede ver la convergencia en una computadora, si simula un operador de Schrödinger discretizado. Puede probar la convergencia del propagador discreto al continuo con relativa facilidad a partir de la integral de trayectoria. Para los autovalores y autovectores individuales, las cosas serán un poco más complicadas. Si quieres una prueba matemática, puedo intentar dibujar una.

EDITAR: Fórmula determinante

Si observa la ecuación de valor propio para el operador de dimensión finita$H_L$,

$$det(H_L - \lambda I)$$

encuentra un polinomio de grado finito, cuyos ceros son los valores propios de la ecuación en el límite$\epsilon\rightarrow 0$,$L\rightarrow\infty$.

Como ya ha mencionado, hay muchas maneras de entender la 'regularización' y no suele estar relacionada con el límite discreto; más bien, estos son trucos sucios para dar un significado a ciertas sumas/integrales que son claramente divergentes. Aquí, el problema es diferente - no sabemos a priori QUÉ debería ser este objeto divergente - para tener divergencia tenemos que tener un límite y no tenemos límite hasta ahora. Entonces, la pregunta es más sobre la definición que sobre la 'regularización' que podría ser necesaria en pasos posteriores.

Por lo tanto, puedo sugerir una definición: tenemos una identidad para operadores de dimensión finita (supongamos que U es unitario):$det(I-\lambda U) = exp(Tr(ln(I-\lambda U))$. Esto siempre es correcto, porque$I-\lambda U$es normal y por lo tanto diagonalizable.

Podemos expandir ln en la serie de Taylor alrededor de 1 para obtener (serie de Taylor ordinaria cuando U está en base propia, no hay problemas con el radio de convergencia cuando se mira a U, ya que el módulo de todos los valores propios de U es 1).

$$det(I-\lambda U) = exp(- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n} Tr\, (U^n) )$$

Ahora tenemos una expresión que contiene explícitamente un límite y al mismo tiempo bien definida para U un operador en el espacio complejo de Hilbert de dimensión finita. Tenga en cuenta que la apariencia del límite es un efecto secundario, no intencional. Ahora, podemos preguntarnos si esta expresión tiene sentido cuando nuestro espacio se vuelve de dimensión infinita. Hay teoremas que establecen que si U está acotado (es decir,$\exists_{M>0}: \forall_{v \in V}\,\, ||U v||\leq M \, ||v||$) y clase de rastro (para que el rastro siempre exista y sea finito), la fórmula anterior está bien definida en el caso de dimensión infinita. Para los operadores unitarios, estos requisitos se reducen a la densidad de su rango, que será denso (al menos para los hamiltonianos razonables que generan este trafo unitario). Entonces, la expresión anterior está bien definida en el espacio de Hilbert de dimensión infinita sin casi ninguna hipótesis adicional significativa, ni ninguna 'regularización'. Ahora, todo lo que tenemos que hacer es encontrar los ceros de esta función 'zeta' bien definida:

$$\zeta(\lambda) = {det(I-\lambda U)} = exp(- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n} Tr (U^n) )$$ Y, siendo sincera, ¡no tengo ni la menor idea de cómo hacerlo! Sin embargo, estoy bastante seguro de que nadie ha probado nunca que no se puede hacer :). Creo que no sería demasiado difícil comenzar demostrando que todos los ceros se encuentran en un círculo unitario (¡vamos, todos lo sabíamos desde el principio!). Desafortunadamente, no tengo tiempo ni ideas para lidiar con eso ahora. ¿Alguien?

Encontrar las raíces de un polinomio de grado finito e infinito es diferente. Si las raíces de un polinomio de grado finito siempre existen, entonces para un grado infinito este no es el caso, el ejemplo

$$exp(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}=0$$ no tiene raíces finitas exactas