¿Cómo/Por qué Feynman relacionó el elemento de la matriz hamiltoniana H12H12H_{12} con la amplitud para pasar de |1⟩|1⟩|1\rangle a |2⟩|2⟩| 2\rango?

Nuestro problema, entonces, es entender la matriz$U(t_2,t_1)$para un intervalo de tiempo infinitesimal, para$t_2=t_1+Δt$. Nos preguntamos esto: si tenemos un estado$ϕ$ahora, ¿cómo se ve el estado en un tiempo infinitesimal$Δt$¿más tarde? Veamos cómo escribimos eso. Llame al estado en el momento t,$\ket{ψ(t)}$(mostramos la dependencia del tiempo de$ψ$para ser perfectamente claro que nos referimos a la condición en el momento$t$). Ahora hacemos la pregunta: ¿Cuál es la condición después del pequeño intervalo de tiempo$Δt$¿más tarde? La respuesta es$\newcommand{\bk}[2]{\left\langle #1 | #2 \right\rangle} \newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\biik}[3]{\left\langle #1 | #2| #3\right\rangle}$

$$\ket{ψ(t+Δt)}=U(t+Δt,t)\ket{ψ(t)}.$$ También podemos resolver el$\ket{ψ(t)}$en estados base y escribir $$\bk{i}{ψ(t+Δt)}=\sum_j \biik{i}{U(t+Δt,t)}{j} \bk{j}{ψ(t)}.$$ Cada amplitud en$(t+Δt)$es proporcional a todas las otras amplitudes en$t$multiplicado por un conjunto de coeficientes. Llamemos al$U$-matriz$U_{ij}$, con lo que queremos decir $$U_{ij}=\biik{i}{U}{j}.$$ Entonces podemos escribir $$C_i(t+Δt)=\sum_j U_{ij}(t+Δt,t)C_j(t).$$ Entonces, así es como se verá la dinámica de la mecánica cuántica. [..] si$Δt$va a cero, no puede pasar nada, deberíamos obtener solo el estado original. Entonces,$U_{ii}→1$y$U_{ij}→0$, si$i≠j$. En otras palabras,$U_{ij}→δ_{ij}$para$Δt→0.$Además, podemos suponer que para pequeñas$Δt$, cada uno de los coeficientes$U_{ij}$debe diferir de$δ_{ij}$por cantidades proporcionales a$Δt$; para que podamos escribir $$U_{ij}=δ_{ij}+K_{ij}Δt.$$ Sin embargo, es habitual tomar el factor$(−i/ℏ)$de los coeficientes$K_{ij}$, por razones históricas y de otro tipo; preferimos escribir $$U_{ij}(t+Δt,t)=δ_{ij}−\frac{i}{ℏ} H_{ij}(t)Δt.$$ Los términos$H_{ij}$son solo las derivadas con respecto a$t_2$de los coeficientes$U_{ij}(t_2,t_1)$, evaluado en$t_2=t_1=t.$Usando este formulario para$U$, tenemos $$C_i(t+Δt)=\sum_j \left[δ_{ij}−\frac{i}{ℏ}H_{ij}(t)Δt\right]Cj(t).$$ Tomando la suma sobre el$δ_{ij}$término, obtenemos sólo$C_i(t)$, que podemos poner en el otro lado de la ecuación. Entonces dividiendo por$Δt$, tenemos lo que reconocemos como un derivado $$C_i(t+Δt)−Ci(t)Δt=−\frac{i}{ℏ}\sum_j H_{ij}(t)Cj(t)$$ o $$iℏ\frac{dC_i(t)}{dt}= \sum_j H_{ij}(t)Cj(t).$$

Así definió Feynman$H_{ij}$como la derivada de$U_{ij}$. Este es el${ij}^\text{th}$elemento de la matriz hamiltoniana. Luego escribió algo abruptamente,

los coeficientes$H_{ij}$se denominan matriz hamiltoniana o, para abreviar, simplemente hamiltoniana. (Cómo Hamilton, que trabajó en la década de 1830, puso su nombre en una matriz de mecánica cuántica es un relato de la historia). Sería mucho mejor llamarla matriz de energía , por razones que se harán evidentes a medida que trabajemos con ella. Así que el problema es: ¡conoce tu hamiltoniano!

Entonces,$H_{ij}$que es la derivada temporal de$U_{ij}$matriz está relacionada con la energía del sistema.

Pero después de dos capítulos, de la nada mencionó que$H_{ij}$es la amplitud para ir de$\ket 1$a$\ket 2$. Como

Una molécula de hidrógeno positivamente ionizada consta de dos protones con un electrón moviéndose a su alrededor. Si los dos protones están muy separados, ¿qué estados esperaríamos para este sistema? La respuesta es bastante clara: el electrón permanecerá cerca de un protón y formará un átomo de hidrógeno en su estado más bajo, y el otro protón permanecerá solo como un ion positivo. Entonces, si los dos protones están muy separados, podemos visualizar un estado físico en el que el electrón está "unido" a uno de los protones. Hay, claramente, otro estado simétrico a aquel en el que el electrón está cerca del otro protón, y el primer protón es el que es un ion. Tomaremos estos dos como nuestros estados base y los llamaremos$\ket{1}$y$\ket{2}.$Hay una pequeña amplitud para que el electrón se mueva de un protón al otro. Entonces, como primera aproximación, cada uno de nuestros estados base$\ket{1}$y$\ket{2}$tendrá la energía$E_0$, que es solo la energía de un átomo de hidrógeno más un protón. Podemos tomar que los elementos de la matriz hamiltoniana$H_{11}$y$H_{22}$ambos son aproximadamente iguales a$E_0.$Los otros elementos de la matriz$H_{12}$y$H_{21}$, que son las amplitudes para que el electrón vaya y venga, escribiremos nuevamente como$−A$.

No estoy entendiendo esto;$H_{12}$&$H_{21}$son las derivadas temporales de$U_{12}\;\&\;U_{21}$respectivamente. ¿Cómo pueden ser la amplitud para ir de$\ket 1$a$\ket 2$? Después de todo, está relacionado con el delta de Kronecker.$\delta{ij}$o si está bajo la evolución del tiempo, entonces relacionado con$U_{ij}$.$U_{ij}$deberían ser las amplitudes para que el electrón vaya y retroceda esa es la amplitud para que el ion de hidrógeno pase de$\ket 1$a$\ket 2$o viceversa. Entonces, ¿por qué Feynman escribió$H_{ij}$como la amplitud en lugar de$U_{ij}$después de todo,$H_{ij}$es la derivada temporal de$U_{ij}$& no cualquier amplitud para ir de$\ket 1$a$\ket 2$??