Usando inducción para probar que ∑nr=1r⋅r!=(n+1)!−1∑r=1nr⋅r!=(n+1)!−1\sum_{r=1}^nr\cdot r! =(n+1)! -1

Utilice la inducción para demostrar que ∑ r = 1 norte r ⋅ r ! = ( norte + 1 ) ! − 1

Primero mostré que la fórmula es válida para norte = 1 . Entonces pongo n como k y obtuve una expresión para la suma en términos de k . Luego encontré la suma hasta el ( k + 1 ) el término sumando el ( k + 1 ) el término a ambos lados de la ecuación y lo comparé con la expresión de suma que obtengo reemplazando k + 1 en la expresión de suma dada en la pregunta: no coinciden.

Sugerencia TeX: use \cdotpara punto centrado, como en 2 ⋅ 3 = 6 .

Respuestas (2)

También una buena manera de resolverlo sin inducción.

∑ r = 1 norte r ⋅ r ! = ∑ r = 1 norte ( r + 1 − 1 ) ⋅ r ! = ∑ r = 1 norte ( r + 1 ) ! − r ! = ( norte + 1 ) ! − 1
Dado que todos los términos se cancelan excepto ( norte + 1 ) ! y − 1

Estoy de acuerdo contigo en que tu camino es limpio :). +1

PISTA

( k + 1 ) ! − 1 + ( k + 1 ) ( k + 1 ) ! = ( k + 1 ) ! ( 1 + k + 1 ) − 1 = ( k + 1 ) ! ( k + 2 ) − 1 = ?

¡Eso es exactamente lo que estoy haciendo! Se simplifica a (k+2)!(k+1)! -1
Ya veo... entonces la prueba está completa, ¿verdad?
Oh, espera un segundo, ¿cómo se simplifica eso a (k+2)!(k+1)!-1 ?
norte ! ( norte + 1 ) = ( norte + 1 ) !
¡No debería ser la suma (k+2)! - 1? Lo siento si mis preguntas parecen tontas, acabo de comenzar la inducción.
sí, y eso es exactamente lo que necesita para concluir que la declaración es válida para norte = k + 1 porque
( k + 2 ) ! − 1 = ( k + 1 + 1 ) ! − 1
error tipográfico, se simplifica a (k+2)(k+1)! -1
Usando inducción para probar que ∑nr=1r⋅r!=(n+1)!−1∑r=1nr⋅r!=(n+1)!−1\sum_{r=1}^nr\cdot r! =(n+1)! -1
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v