Inducción: nn+1>(n+1)nnn+1>(n+1)nn^{n+1} > (n+1)^n y (n!)2≤((n+1)(2n +1)6)n(n!)2≤((n+1)(2n+1)6)n(n!)^2 \leq \left(\frac{(n + 1)(2n + 1) {6}\derecho)^n

Question

Inducción: nn+1>(n+1)nnn+1>(n+1)nn^{n+1} > (n+1)^n y (n!)2≤((n+1)(2n +1)6)n(n!)2≤((n+1)(2n+1)6)n(n!)^2 \leq \left(\frac{(n + 1)(2n + 1) {6}\derecho)^n

factorial
inducción
desigualdad
Matemáticas

eudoxyz

¿Cómo demuestro esto por inducción?

{norte}^{norte + 1} > (norte + 1)^{norte}, para norte \geq 3

$\displaystyle n^{n+1} > (n+1)^n,\; \mbox{ for } n\geq 3$ Gracias.

Lo que estoy haciendo es un montón de estos problemas de inducción para mi primer año de matemáticas.

Intenté usar la desigualdad de Bernoulli en algún momento, pero no tuve éxito. Además, intenté $(n+1)^{n+2}=(n+1)^{n+1}(n+1)$ , luego expandiendo $(n+1)^{n+1}$ por fórmula binomial para obtener el $n^{n+1}$ miembro para aplicar la hipótesis de inducción, todavía sin éxito.

Aquí hay otro con el que he estado luchando:

(norte!)^{2} \leq {(\frac{(norte + 1) (2 norte + 1)}{6})}^{norte}

$(n!)^2 \leq \left(\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}\right)^n$

EDITAR: ¡Finalmente resuelto el segundo!

Lo que necesitaba era la desigualdad AM-GM.

Por lo tanto,

\frac{(norte + 1) (2 norte + 1)}{6} = \frac{1}{norte} \sum_{i = 1}^{norte} i^{2} \geq \sqrt[norte]{1^{2} \cdot 2^{2} \dots {norte}^{2}}

$\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 \geq \sqrt[n]{1^2 \cdot 2^2 \cdots n^2}$

De este modo,

{(\frac{(norte + 1) (2 norte + 1)}{6})}^{norte} = {(\frac{1}{norte} \sum_{i = 1}^{norte} i^{2})}^{norte} \geq 1^{2} \cdot 2^{2} \dots {norte}^{2} = (norte!)^{2}

$\left(\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2\right)^n \geq 1^2 \cdot 2^2 \cdots n^2 = (n!)^2$

Hecho.

Igor Rivin

Pista: reescríbelo como

n > (1 + 1 / n)^{n} .

$n>(1+1/n)^n.$

mandril franklin

Verifique el caso

n = 3

$n=3$ . Entonces suponga que se cumple para

n

$n$ . Entonces mira

(n + 2)^{n + 1}

$(n+2)^{n+1}$ .

Martín Sleziak

La segunda desigualdad también se muestra aquí: math.stackexchange.com/questions/1113007/…

Respuestas (5)

Inducción: nn+1>(n+1)nnn+1>(n+1)nn^{n+1} > (n+1)^n y (n!)2≤((n+1)(2n +1)6)n(n!)2≤((n+1)(2n+1)6)n(n!)^2 \leq \left(\frac{(n + 1)(2n + 1) {6}\derecho)^n

Verifique el caso $n=3$ . Entonces suponga que se cumple para $n$ . Entonces mira $(n+2)^{n+1}$ .
La segunda desigualdad también se muestra aquí: math.stackexchange.com/questions/1113007/…

David Holden · Answer 1

es más fácil si reorganizas un poco la declaración. dividiendo todo por la cantidad +ve $n^n$ se convierte en la afirmación de que

{(1 + \frac{1}{norte})}^{norte} < norte

$\left(1+\frac1n\right)^n \lt n$ lo cual es cierto si

n = 3

$n=3$ .

ahora multiplica ambos lados por la cantidad +ve $\left(1+\frac1n\right)$ .

Brian M Scott · Answer 2

SUGERENCIA para el paso de inducción: si su hipótesis de inducción es que $n^{n+1}>(n+1)^n$ , entonces

\begin{matrix} (1) & (norte + 1)^{norte + 2} = (norte + 1) {norte}^{norte + 1} {(\frac{norte + 1}{norte})}^{norte + 1} > (norte + 1)^{norte + 1} {(\frac{norte + 1}{norte})}^{norte + 1} . \end{matrix}

$(n+1)^{n+2}=(n+1)n^{n+1}\left(\frac{n+1}n\right)^{n+1}>(n+1)^{n+1}\left(\frac{n+1}n\right)^{n+1}\;.\tag{1}$

Ahora combine todo en el extremo derecho de $(1)$ en un solo $(n+1)$ -st poder y hacer un poco de álgebra.

robarjohn · Answer 3

Tu desigualdad es la misma que

norte {(\frac{norte}{norte + 1})}^{norte} > 1

$n\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\gt1$ Darse cuenta de

\begin{aligned} (norte + 1) {(\frac{norte + 1}{norte + 2})}^{norte + 1} & = {(\frac{(norte + 1)^{2}}{norte (norte + 2)})}^{norte + 1} norte {(\frac{norte}{norte + 1})}^{norte} \\ = {(1 + \frac{1}{norte (norte + 2)})}^{norte + 1} norte {(\frac{norte}{norte + 1})}^{norte} \\ > 1 \cdot 1 \end{aligned}

$\begin{align} (n+1)\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1} &=\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}n\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\\ &=\left(1+\frac1{n(n+2)}\right)^{n+1}n\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\\[9pt] &\gt1\cdot1 \end{align}$

matemático · Answer 4

Supuesto para $n\geq 3$ tienes eso $n^{n+1}>(n+1)^n$ . WTS $(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}$ . Desde $n^{n+1}>(n+1)^n$ tu consigues eso $n^{n+1} \cdot \frac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}}>(n+1)^n\cdot \frac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}}=\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}}>(n+2)^{n+1}$ , donde se sigue la última desigualdad ya que $(n+1)^2>n(n+2)$ . Por eso $(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}$ .

víbora negra · Answer 5

Suponga que la afirmación es cierta para $n-1$ , es decir, tenemos

(norte - 1)^{norte} > {norte}^{norte - 1} .

$(n-1)^n>n^{n-1}.$

Entonces

\begin{aligned} (norte + 1)^{norte} & = {norte}^{norte} + (\binom{norte}{1}) {norte}^{norte - 1} + \dots + (\binom{norte}{norte - 1}) norte + 1 \\ < {norte}^{norte} + {norte}^{norte} + \dots + {norte}^{norte} = norte ({norte}^{norte}) = {norte}^{norte + 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} (n+1)^n &= n^n+\binom{n}{1}n^{n-1}+\dots+\binom{n}{n-1}n+1\\ &<n^n+n^n+\dots+n^n=n(n^n)=n^{n+1}. \end{align*}$

Inducción: nn+1>(n+1)nnn+1>(n+1)nn^{n+1} > (n+1)^n y (n!)2≤((n+1)(2n +1)6)n(n!)2≤((n+1)(2n+1)6)n(n!)^2 \leq \left(\frac{(n + 1)(2n + 1) {6}\derecho)^n

eudoxyz

Igor Rivin

mandril franklin

Martín Sleziak

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David Holden

Brian M Scott

Brian M Scott

robarjohn

matemático

víbora negra

eudoxyz

víbora negra

Inducción matemática con series y factoriales.

Usando inducción para probar que ∑nr=1r⋅r!=(n+1)!−1∑r=1nr⋅r!=(n+1)!−1\sum_{r=1}^nr\cdot r! =(n+1)! -1

Inducción Prueba de desigualdad trigonométrica ∑nk=0|cosk|≥n2∑k=0n|cos⁡k|≥n2\sum_{k=0}^n |\cos k| \ge \fracn2

Límite inferior para el factorial descendente

Prueba de la desigualdad Fi<(5/3)iFi<(5/3)iF_i<(5/3)^i para los números de Fibonacci

Desigualdad con factoriales descendentes

Desigualdad de inducción/ n en exponencial

Límite superior para el factorial descendente

Demostrar que (3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2(3a+3b) !(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2\frac{(3 a+3 b) !( 2 a) !(3 b) !(2 b) !}{(2 a+3 b) !(a+2 b) !(a+b) ! a !(b !)^{2}} es un número entero.

Factoriales... ¿Cómo lo hacen?