Multiplicar tres factoriales con tres binomios en identidad polinomial

Parece que hay una falla en el problema planteado. Quizá quieras comprobarlo aunque ha pasado algún tiempo desde que se publicó.

los polinomios$Z_n$con

$$\begin{align*} Z_n=\sum_{k=0}^n n^{\underline{k}}x^{n-k} \end{align*}$$ Empezar con $$\begin{align*} Z_0&=0^{\underline{0}}x^0=1\\ Z_1&=1^{\underline{0}}x^1+1^{\underline{1}}x^0=x+1\\ Z_2&=2^{\underline{0}}x^2+2^{\underline{1}}x^1+2^{\underline{2}}x^0=x^2+2x+4 \end{align*}$$

Obtenemos por$n=2$

$$\begin{align*} x^2&Z_{n-1}Z_{n-2}-2nxZ_nZ_{n-2}+Z_nZ_{n-1}\\ &=x^2Z_1Z_0-4xZ_2Z_0+Z_2Z_1\\ &=x^2(x+1)-4x(x^2+2x+4)+(x^2+2x+4)(x+1)\\ &=-2x^3-4x^2-10x+4\tag{2} \end{align*}$$

Por otro lado

obtenemos en (1) para$n=2$

$$\begin{align*} D_2&=\sum_{j=0}^{n-2}\sum_{i=0}^j(n-j)!(n-j-1)!(j-i)!\binom{n-2}{j}\binom{j}{i}\binom{2n+1-i-j}{j-i}x^{i+j}\\ &=\sum_{j=0}^{0}\sum_{i=0}^j(2-j)!(1-j)!(j-i)!\binom{0}{j}\binom{j}{i}\binom{5-i-j}{j-i}x^{i+j}\\ &=2!1!0!\binom{0}{0}\binom{0}{0}\binom{5}{0}x^0\\ &=2 \end{align*}$$ que no coincide con (2).