Prueba combinatoria sobre factoriales decrecientes y sumas de factoriales decrecientes

Demuestra que por cada$n$y$k$satisfactorio$1 \le k \le n$,

$$(n)_k = \sum_{i = k}^n k \cdot (i-1)_{k-1}$$

dónde$(n)_k$es el factorial descendente.

Intenté usar una prueba combinatoria de la siguiente manera:

Supongamos que queremos elegir$k$bolas distintas de un grupo de$n$pelotas. El LHS obviamente cuenta la cantidad de formas en que podemos hacer esto.

El RHS es la suma de las formas en que podemos elegir$k-1$bolas de conjuntos más pequeños de bolas y agregando gradualmente al conjunto hasta que tengamos nuestro tamaño original de$n$.

Hay dos cosas mal con mi interpretación del lado derecho:

1. Ignoro por completo el$k$delante de$(i-1)$. No estoy seguro de su relevancia y por qué funciona. Originalmente pensé que estamos multiplicando por la cantidad de formas en que podemos reorganizar las bolas, pero rápidamente me di cuenta de que eso se resuelve en el$(i-1)_{k-1}$término.
2. Mi interpretación realmente no significa nada en el contexto del problema. Específicamente el$k-1$y por qué elegir entre un grupo más pequeño de bolas nos permite llegar a nuestro número total de formas.

Agradecería si alguien puede proporcionar algo de intuición para comprender lo que me dice el lado derecho y algunos pasos en la dirección correcta.

EDITAR:

Pude reescribir la ecuación así:

$$(n)_k = k\sum_{i = k}^n \frac{(i-1)!}{(i-k)!}$$