como de costumbre deja[ norte ] = { 1 , 2 , ... , norte }
, y dejaS= [ norte ] ∪ { 0 }
. DejarF
Sea el conjunto de funciones deS
a[ norte ]
. SiF∈ F
, dejar
k ( f) = min { k ∈ S: ∃ ℓ < k( f( k ) = f( ℓ ) },
y dejak( f) = { f( ℓ ) : ℓ = 0 , ... , k − 1 }
; tenga en cuenta que| k( f) | = k ( f)
.
Parak ∈ S
dejarFk= { f∈ F: k ( f) = k }
. Para una funciónF∈Fk
hay(nortek)
formas de elegir el conjuntok( f)
yk !
biyecciones de{ 0 , ... , k - 1 }
ak( f)
, y aquí estánnortenorte - k
maneras de elegirF( ℓ )
paraℓ = k + 1 , ... , norte
. Finalmente, hayk
opciones paraF( k )
, ya que debe ser uno de losk
miembros dek( f)
. De este modo,
|Fk| =kk!_nortenorte - k(nortek),
y
| F| =∑kkk ! _nortenorte - k(nortek).
Por otro lado, es claro que| F| =nortenorte + 1
, entonces
∑kkk ! _nortenorte - k(nortek) =nortenorte + 1,
y la identidad deseada ahora se obtiene dividiendo entrenortenorte
.
usuario139708