¿Cómo probar una fórmula para la suma de potencias de 222 por inducción?

Question

¿Cómo probar una fórmula para la suma de potencias de 222 por inducción?

inducción
suma
Matemáticas

pantalla de lámpara

¿Cómo demuestro esto por inducción?

Demostrar que para todo número natural n, $2^0 + 2^1 + ... + 2^n = 2^{n+1}-1$

Aquí está mi intento.

Caso base: dejar $n = 0$ Entonces, $2^{0+1} - 1 = 1$ Cual es verdad.

El paso inductivo para probar es: $2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$

Nuestra hipótesis es: $2^n = 2^{n+1} -1$

Aquí es donde me estoy desviando. Veamos el lado derecho de la última ecuación: $2^{n+1} -1$ Puedo reescribir esto como lo siguiente.

$2^1(2^n) - 1$ Pero, a partir de nuestra hipótesis $2^n = 2^{n+1} - 1$ De este modo:

$2^1(2^{n+1} -1) -1$ Aquí es donde me pierdo. Porque cuando distribuyo me sale esto.

$2^{n+2} -2 -1$ esto esta mal no? ¿No estoy aplicando las reglas de los exponentes correctamente aquí? Tengo la solución, así que sé que lo que estoy haciendo está mal. Aquí está la prueba correcta. ingrese la descripción de la imagen aquí

Arturo Magidín

Su hipótesis de inducción y lo que está tratando de probar para la inducción son incorrectos. Lo que intentas probar es que la suma de las potencias de $2$ hasta $n$ es igual a

2^{n + 1} - 1

$2^{n+1}-1$ . Entonces su hipótesis inductiva debería ser que este resultado es cierto para

k

$k$ ; eso es eso

2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{k} = 2^{k + 1} - 1.

$2^0+2^1+\cdots+2^k = 2^{k+1}-1.$ Lo que quieres probar es que de esto se sigue que el resultado es verdadero para

k + 1

$k+1$ , eso es eso

2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{k} + 2^{k + 1} = 2^{(k + 1) + 1} - 1 sostiene

$2^0+2^1+\cdots+2^{k}+2^{k+1} = 2^{(k+1)+1}-1\quad\mbox{holds.}$ En cambio, está tratando de probar que

2^{m} = 2^{m + 1} - 1

$2^m = 2^{m+1}-1$ para todos

m

$m$ , lo cual es falso.

Respuestas (5)

¿Cómo probar una fórmula para la suma de potencias de 222 por inducción?

Su hipótesis de inducción y lo que está tratando de probar para la inducción son incorrectos. Lo que intentas probar es que la suma de las potencias de $2$ hasta $n$ es igual a $2^{n+1}-1$ . Entonces su hipótesis inductiva debería ser que este resultado es cierto para $k$ ; eso es eso $2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{k} = 2^{k + 1} - 1.$ $2^0+2^1+\cdots+2^k = 2^{k+1}-1.$ Lo que quieres probar es que de esto se sigue que el resultado es verdadero para $k+1$ , eso es eso $2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{k} + 2^{k + 1} = 2^{(k + 1) + 1} - 1 sostiene$ $2^0+2^1+\cdots+2^{k}+2^{k+1} = 2^{(k+1)+1}-1\quad\mbox{holds.}$ En cambio, está tratando de probar que $2^m = 2^{m+1}-1$ para todos $m$ , lo cual es falso.

Adán · Answer 1

Una manera fácil de hacer esto es usando binario. He aquí una idea de lo que quiero decir:

$2^0$ en binario es $1$
$2^1$ en binario es $10$
$2^2$ en binario es $100$

Por regla general:

$2^n$ en binario es $100\cdots0$ (n ceros)

Súmalos y obtendrás $2^0 + 2^1 + ... + 2^n$ en binario es $11...11$ ( $n+1$ unos).

Ahora es obvio que sumando 1 a eso te da

100 \dots 00 (norte + 1 ceros)

$100\cdots00 \quad\text {($n+1$ zeros)}$ que como todos sabemos es

2^{n + 1}

$2^{n+1}$ .

De este modo $2^{n+1} - 1$ es igual por lo que la suma de potencias de dos hasta $2^n$ .

Esa es "la solución más simple" a este problema (y también la más elegante, para mí). Sin embargo, el objetivo de OP es resolverlo por inducción .

Enrique · Answer 2

Ambos

El paso inductivo para probar es: $2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$
Nuestra hipótesis es: $2^n = 2^{n+1} -1$

están mal y deberían estarlo

El paso inductivo para probar es: $2^0 + 2^1 + ... + 2^n + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$
Nuestra hipótesis es: $2^0 + 2^1 + ... + 2^n = 2^{n+1}-1$

Agregar $2^{n+1}$ a ambos lados de la hipótesis y tienes el paso para probar ya que $2^{n+1}-1 +2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$

Bill Dubuque · Answer 3

PISTA $\$ Aquí está la prueba inductiva para sumar una serie geométrica general.

TEOREMA $\rm\quad 1 + x + \cdots + x^{n-1}\ =\ \dfrac{x^{n}-1}{x-1}$

Prueba $\$ Caso base: Es cierto para $\rm\ n = 1\:,\:$ verbigracia. $\rm\ 1 = (x-1)/(x-1)\:$ .

Paso inductivo: Supongamos que es cierto para $\rm\ n = k\:.\$ Entonces nosotros tenemos

X^{k} + (X^{k - 1} + \dots + 1) = X^{k} + \frac{X^{k} - 1}{X - 1} = \frac{X^{k + 1} - 1}{X - 1}

$\rm\ x^k + (x^{k-1} +\: \cdots\: + 1)\:\ =\:\ x^k +\frac{x^k-1}{x-1}\ =\ \frac{x^{k+1}-1}{x-1}$

lo que implica que es cierto para $\rm\: n = k+1\:,\:$ completando así la prueba inductiva.

La prueba que buscas es solo el caso especial. $\rm\ x = 2\$ .

Eratóstenes · Answer 4

No veo la respuesta que me gusta aquí, así que estoy escribiendo la mía.

Prueba básica:

Deseamos probar $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n-1} = 2^n - 1$ para todos $n$ . Podemos verificar por inspección que esto es cierto para n=1. A continuación, suponga que $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n} = 2^{n+1} - 1$ .

$(2^0 + 2^1 + ... + 2^n) + 2^{n+1} = (2^{n+1} - 1) + 2^{n+1} = 2 \cdot 2^{n+1} - 1 = 2^{n+2} - 1$ , por lo que hemos mostrado $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n-1} = 2^{n} - 1$ es cierto para todo n.

2^n+1 - 1 te dará la respuesta correcta, si tomamos n=1 entonces 2^1+1 -1 vendrá en lugar de 2^1 -1. Entonces obtendrás 2^2-1 = 3. Es decir, n=1 te dará 3==3, por lo que la hipótesis no es incorrecta.
@PrasannaSasne Buen punto, actualicé mi respuesta. Mira lo que piensas.

L_K · Answer 5

dejar $S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + .... + 2^{n-1}$

entonces $2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^n$

entonces $2S - S = S = (2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) + ... + (2^{n-1} - 2^{n-1}) + 2^n = 2^n - 1$

y tenemos $2^0 + 2^1 + 2^2 + .... + 2^{n-1} = 2^n - 1$

¿Cómo probar una fórmula para la suma de potencias de 222 por inducción?

pantalla de lámpara

Arturo Magidín

Respuestas (5)

Adán

JnxF

Enrique

Bill Dubuque

Eratóstenes

Prasana

Eratóstenes

L_K

Usando inducción para probar que ∑nr=1r⋅r!=(n+1)!−1∑r=1nr⋅r!=(n+1)!−1\sum_{r=1}^nr\cdot r! =(n+1)! -1

Identidad con respecto a la función Gamma (más o menos)

Inducción de forma cerrada de suma

Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi

Sobre la regla generalizada de Leibniz

Demostrar una identidad con sumas

Cómo encontrar la sumatoria de esta serie infinita: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

Encuentre la forma cerrada de una suma n

¿La suma de las variables de Bernoulli dependientes de baja probabilidad es cercana a cero con alta probabilidad?

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales