Simplificando la suma con factoriales ascendentes y descendentes

En la primera suma, el coeficiente de$\frac{\gamma^m}{m+1}$es

$$\sum_{n+p+q=m}\sum_{ l =0}^{n} \frac{(-1)^l\left(q + l \right)!\left(p + n - l\right)!}{p! q!} \frac{ \left(N\right)^{(p)} \left(N\right)_{(q)}}{\left(M + 1\right)^{(p + n - l)}\left( M - 1 \right)_{(q + l)}}.$$ Establecimos$k=q+l$; como$l$viene de$0$a$n$,$k$viene de$q$a$q+n = m-p$: $$\sum_{n+p+q=m}\sum_{k=q}^{m-p} \frac{(-1)^{k-q} k!\left(m-k\right)!}{p! q!} \frac{ \left(N\right)^{(p)} \left(N\right)_{(q)}}{\left(M + 1\right)^{(m-k)}\left( M - 1 \right)_{(k)}}.$$ Ahora reordenamos esta suma para que dependa de$k$primero. para fijo$m$y$k$, nuestras restricciones son que$q \le k$,$p \le m-k$, y$n = m-p-q$. Entonces tenemos $$\sum_{k=0}^m \sum_{q=0}^k \sum_{p=0}^{m-k} \frac{(-1)^{k-q} k!\left(m-k\right)!}{p! q!} \frac{ \left(N\right)^{(p)} \left(N\right)_{(q)}}{\left(M + 1\right)^{(m-k)}\left( M - 1 \right)_{(k)}}.$$ Mirando solo a la$k^{\text{th}}$término de esta suma, podemos factorizarla como $$\frac{(-1)^k k! (m-k)!}{\left(M + 1\right)^{(m - k)}\left(M - 1\right)_{(k)}} \left(\sum_{q=0}^k (-1)^q \frac{(N)_{(q)}}{q!}\right) \left(\sum_{p=0}^{m-k} \frac{(N)^{(p)}}{p!}\right).$$ la suma termina$p$se sabe que se simplifica a$\frac{(N+1)^{(m-k)}}{(m-k)!}$. la suma termina$q$se comporta casi tan bien: podemos reescribir$(-1)^q \frac{(N)_{(q)}}{q!}$como$\frac{(-N)^{(q)}}{q!}$y luego simplificar la suma a$\frac{(-N+1)^{(k)}}{k!}$o$(-1)^k \frac{(N-1)_{(k)}}{k!}$.

Estos resultados se anulan con los factores que sólo dependen de$k$, entonces el$k^{\text{th}}$término de nuestra suma se simplifica a

$$\frac{\left(N + 1\right)^{(m - k)}\left( N - 1\right)_{(k)}}{\left(M + 1\right)^{(m - k)}\left(M - 1\right)_{(k)}}.$$ Recordando que estamos sumando esto como$k$viene de$0$a$m$, obtenemos exactamente el coeficiente de$\frac{\gamma^m}{m+1}$en la suma que queríamos obtener.