Unidades de acción de Einstein-Hilbert

Question

Unidades de acción de Einstein-Hilbert

unidades
acción
Física
relatividad general
análisis dimensional
deberes-y-ejercicios

Beto

La acción es una cantidad con unidades de energía. $\times$ tiempo $=[kg \frac{m^2}{s}]$ . La acción de Einstein-Hilbert es

S_{mi H} = \frac{C^{4}}{dieciséis π GRAMO} \int \sqrt{- gramo} R d^{4} X

$\begin{equation} S_{EH}=\frac{c^4}{16\pi G}\int \sqrt{-g}R d^4x \end{equation}$ Mirando solo las unidades en esta acción:

\begin{array}{rcl} [S] & = & [\frac{{(\frac{metro}{s})}^{4}}{\frac{{metro}^{3}}{k gramo s^{2}}}] [{metro}^{- 2} {metro}^{4}] \\ = & [\frac{k gramo \times {metro}^{3}}{s^{2}}] \end{array}

$\begin{eqnarray} [S] &=& \left[ \frac{\left(\frac{m}{s}\right)^4}{\frac{m^3}{kg s^2}}\right]\left[ m^{-2} m^4\right] \\ &=& \left[ \frac{kg \times m^3}{s^2}\right] \end{eqnarray}$ Donde el escalar de Ricci tiene unidades de

m^{- 2}

$m^{-2}$ , y la métrica del espacio-tiempo no tiene unidades. ¿De dónde viene la unidad extra de

m / s

$m/s$ en mi cálculo provienen, o me olvidé de cancelar algo más?

AccidentalFourierTransformar

Pista: es

d x^{0} = d t

$\mathrm dx^0=\mathrm dt$ o

d x^{0} = c d t

$\mathrm dx^0=c\mathrm dt$ ?

Beto

Así que mi segundo término entre paréntesis debe decir

[m^{- 2} m^{3} s]

$\left[ m^{-2} m^3s \right]$ para

[R] [d x d y d z] [d t]

$[R][dxdydz][dt]$ ?

ryan unger

@AccidentalFourierTransform

c = 1

$c=1$ sin embargo

Beto

@ocelouvsky eso es cierto cuando se trabaja en unidades naturales, pero aquí estoy trabajando explícitamente en unidades SI.

AccidentalFourierTransformar

@0celouvsky ...y

8 π G = 1

$8\pi G=1$

magma

Bob, ¿dónde encontraste exactamente esta fórmula para el

S_{E H}

$S_{EH}$ ¿acción? Sé que se cita en Wikipedia, como escribí en mi respuesta a continuación, pero me pregunto si lo encontraste en otro lugar.

Respuestas (1)

Unidades de acción de Einstein-Hilbert

Pista: es $\mathrm dx^0=\mathrm dt$ o $\mathrm dx^0=c\mathrm dt$ ?
Así que mi segundo término entre paréntesis debe decir $\left[ m^{-2} m^3s \right]$ para $[R][dxdydz][dt]$ ?
@ocelouvsky eso es cierto cuando se trabaja en unidades naturales, pero aquí estoy trabajando explícitamente en unidades SI.
Bob, ¿dónde encontraste exactamente esta fórmula para el $S_{EH}$ ¿acción? Sé que se cita en Wikipedia, como escribí en mi respuesta a continuación, pero me pregunto si lo encontraste en otro lugar.

magma · Answer 1

La ecuación que escribiste, que es la misma que se menciona en Wikipedia, a partir de hoy, asume que $dx^0=dt$ .

Sin embargo, generalmente es más inteligente que las 4 coordenadas compartan las mismas unidades, por lo que la mayoría (diría que todos) los tensores tienen componentes que comparten las mismas unidades. Por ejemplo: en coordenadas lorentianas los tensores de Riemann y Ricci tienen unidades $[m^{-2}]$ y $g_{\mu\nu}$ es adimensional.

Por lo tanto, es costumbre usar $dx^0=cdt$ , como suponías. Pero ahora la acción se vuelve

S_{mi H} = \frac{C^{3}}{dieciséis π GRAMO} \int \sqrt{- gramo} R d^{4} X

$\begin{equation} S_{EH}=\frac{c^3}{16\pi G}\int \sqrt{-g}R d^4x \end{equation}$

como puede encontrar fácilmente, por ejemplo, en la clásica Teoría de campos de Landau y Lifshitz.

Unidades de acción de Einstein-Hilbert

Beto

AccidentalFourierTransformar

Beto

ryan unger

Beto

AccidentalFourierTransformar

magma

Respuestas (1)

magma

c4c4c^4 en las ecuaciones de campo de Einstein

¿Por qué la acción es adimensional en unidades naturales?

Densidad lagrangiana de partículas puntuales de espacio-tiempo curvo

¿Cómo pueden las unidades geometrizadas tener más de una constante igual a 1?

Demostrar que la posición multiplicada por el impulso y la energía multiplicada por el tiempo tienen las mismas dimensiones

¿Cuáles son las unidades de las cantidades en la ecuación de campo de Einstein?

Representación de dimensiones en los resultados de la función delta de Dirac

¿Cómo volver a poner ccc en ecuaciones relativistas?

¿Las unidades de energía son las mismas en dimensiones superiores?

Dimensiones de cantidades físicas en mecánica cuántica