¿Cuáles son las unidades de las cantidades en la ecuación de campo de Einstein?

El tensor métrico no tiene unidades. Eso se puede ver por el hecho de que$g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu$da el cuadrado de la longitud de cuatro vectores de$v$, y por lo tanto tiene la unidad de$v^2$.

La curvatura escalar es una contracción del tensor de Ricci. Una contracción no cambia las unidades. También el tensor de Ricci es una contracción del tensor de Riemann.

El tensor de Riemann está hecho de derivadas coordinadas de los coeficientes de conexión, que están hechos de derivadas coordinadas de la métrica. Como cada derivada coordinada suma una unidad$m^{-1}$, el tensor de Ricci y el escalar de curvatura tienen unidades$\mathrm{m}^{-2}$.

La constante cosmológica entonces, por supuesto, también tiene que tener la unidad$\mathrm m^{-2}$, para que las unidades coincidan.

$T$, el tensor de tensión-energía, tiene la unidad de densidad de energía o presión (ambas son en realidad la misma unidad, si se mira más de cerca), es decir,$\mathrm J/\mathrm m^3$o$\mathrm N/\mathrm m^2$.

• $[T_{\mu\nu}]$es$J/m^3$

• $[g_{\mu\nu}]$es$1$

• $[R_{\mu\nu}]$,$[\Lambda]$, y$[R]$es$1/m^2$

Las respuestas anteriores son correctas, pero la notación es mala. Cuando escriben "m" quieren decir "metros" y la unidad correcta para el análisis dimensional es "longitud = L.

$[R_{\mu\nu}]$,$[Λ]$, y$[R]$tener unidades de$\rm\frac{1}{L^2}$

$[T_{\mu\nu}]$tiene unidades de energía/volumen = presión = fuerza/área =$\rm\frac{mass}{[L*t^2]}$

constante de einstein$k$convierte estos. Está$k = \frac{8\pi G}{c^4}$y tiene unidades de$\rm\frac{t^2}{L*mass}$, por lo que convierte la tensión-energía$[T_{\mu\nu}]$a las unidades del otro lado de la ecuación de campo, que tiene todas las partes relacionadas con la métrica, cada término del cual es dimensionalmente$\rm\frac{1}{L^2}$.

Recomiendo esta revisión para un análisis detallado del análisis dimensional en relatividad, su conexión con los significados operacionales de los tensores y una revisión de la literatura:

• Mana (2020): Análisis dimensional en relatividad y en geometría diferencial (la versión arXiv es más detallada que la publicada).

Aquí hay un resumen de la misma.

Para el análisis dimensional utilizo las convenciones y la notación ISO 80000 . A veces uso notación como$\pmb{T}{}_{\bullet}{}^{\bullet}$para indicar que el tensor$\pmb{T}$es covariante en su primera ranura y contravariante en su segunda; Llamo a esto un "tensor co-contra-variante".

Coordenadas

En primer lugar, una coordenada es solo una función que asocia una cantidad física con cada evento en la variedad (espacio-tiempo), o en una región de la misma. Junto con las otras coordenadas, dicha función nos permite identificar de manera única el evento dentro de esa región. Por lo tanto, una coordenada puede tener potencialmente cualquier unidad dimensional. Podría ser la distancia de algo, y también las dimensiones.$\mathrm{L}$; o el tiempo transcurrido desde algo, y así$\mathrm{T}$; o un ángulo,$1$; o incluso una temperatura, dimensiones$\Theta$.

Las dimensiones de las coordenadas no importan, como veremos ahora.

tensores

Considere un sistema de coordenadas$(x^i)$con dimensiones$(\mathrm{X}_i)$.

Comenzando con un ejemplo, tome un tensor contra-contra-co-variante$\pmb{A}$, con componentes$(A{}^{ij}{}_k)$en algún sistema de coordenadas. Entonces el componente$A{}^{ij}{}_k$debe tener las siguientes dimensiones:

Lo que acabamos de ver es obviamente consistente bajo cambios de coordenadas. Por ejemplo, transformar componentes en un sistema cebado,

Este ejemplo se generaliza a tensores de cualquier tipo de manera obvia.

Operaciones de tensor

Aplicando el tipo de razonamiento que acabamos de discutir, podemos encontrar el efecto dimensional de las operaciones principales sobre los tensores:

• multiplicación de tensores$\otimes$multiplica las dimensiones:$\dim(\pmb{A}\otimes\pmb{B}) = \dim(\pmb{A})\dim(\pmb{B})$;
• lo mismo para el producto exterior $\land$;
• lo mismo para la contracción ( ¡pero sin aumentar o disminuir los índices! ver más abajo);
• pull-back y push-forward no cambian las dimensiones del tensor que mapean;
• la derivada de Lie con respecto a un campo vectorial$\pmb{v}$multiplica por las dimensiones absolutas de este vector:$\dim(\mathrm{L}_{\pmb{v}}\pmb{A}) =\dim(\pmb{v})\dim(\pmb{A})$;
• lo mismo para el producto interior $\mathrm{i}_{\pmb{v}}$;
• la derivada exterior $\mathrm{d}$no altera las dimensiones del formulario sobre el que opera:$\dim(\mathrm{d}\pmb{\omega}) = \dim(\pmb{\omega})$(podríamos usar la identidad de Cartan para verificar esto);
• lo mismo para la integración de una forma sobre una subvariedad;
• el operador de derivada covariante $\nabla$tampoco altera las dimensiones:$\dim(\nabla\pmb{A}) = \dim(\pmb{A})$. Pero ten en cuenta que$\dim(\nabla_{\pmb{v}}\pmb{A}) = \dim(\pmb{v})\dim(\pmb{A})$.

El efecto dimensional del operador de derivada covariante se puede verificar rápidamente observando que la expresión de$\nabla\pmb{A}$contiene el siguiente término:

• el símbolo de Christoffel $\varGamma{}^i{}_{jk}$tiene dimensiones $$\dim(\varGamma{}^i{}_{jk}) = \mathrm{X}_i\,{\mathrm{X}_j}^{-1}\,{\mathrm{X}_k}^{-1}.$$

Curvas

Considere una curva a la variedad,$c\colon s \mapsto P$, donde el parámetro$s$tiene dimensión$\mathrm{S}$. Si consideramos la variedad como "adimensional" (si esto tiene sentido), entonces las dimensiones del vector tangente$\dot{c}$a la curva son$\dim(\dot{c}) = \mathrm{S}^{-1}$. Esto se sigue ya sea de$\dot{c} := \partial x^i[c(s)]/\partial s\; \partial_{x^i}$, o considerando que$\dot{c}$puede interpretarse como el avance de$\partial_s$, es decir,$c_*(\partial_s)$.

tensor métrico

De la discusión anterior vemos que el componente$g_{ij}$de la métrica$\pmb{g}$tiene dimensiones$\dim(g_{ij}) = \mathrm{Z}\,\mathrm{X}_i\,{\mathrm{X}_j}^{-1}\,{\mathrm{X}_k}^{-1}$, donde$\mathrm{Z}$son las dimensiones absolutas de la métrica. ¿Cuáles son estas dimensiones absolutas?

La respuesta probablemente depende de cómo vea el significado operativo de la métrica. Aquí ofrezco mi punto de vista personal. Podemos usar la métrica para medir la "longitud" de caminos (temporales o espaciales) en el espacio-tiempo. La "longitud" de un camino$c(s)$con$s\in [a,b]$es

Sin embargo, tenga en cuenta que algunos autores importantes de relatividad (consulte las referencias en la revisión citada anteriormente) se centran en caminos similares al tiempo , para los cuales la "longitud" se mide con un reloj que tiene ese camino como línea de tiempo: es su tiempo adecuado. Así, algunos autores en cambio definen

Por nuestro argumento habitual, es posible ver que el tensor de curvatura de Riemann$\pmb{R}{}^{\bullet}{}_{\bullet\bullet\bullet}$, el tensor de Ricci$\pmb{R}_{\bullet\bullet}$, y el tensor de Einstein$\pmb{G}_{\bullet\bullet}$son adimensionales -$1$– y la curvatura escalar tiene dimensiones$\mathrm{L}^{-2}$. Tenga en cuenta que los tensores de Riemann y Ricci (con el tipo contra/covariante especificado anteriormente) no requieren una métrica para su definición, sino una conexión afín. Son adimensionales sin importar qué dimensiones le demos a la métrica. Por construcción, el tensor de Einstein (totalmente covariante) también es siempre adimensional.

Una operación importante realizada con la métrica:

• "bajar un índice" de un tensor multiplica sus dimensiones por$\mathrm{L}^2$, y "aumentar un índice" los multiplica por$\mathrm{L}^{-2}$(si está de acuerdo con mi discusión anterior).

Tensor tensión-energía-momento

¿Cuáles son las dimensiones absolutas del tensor tensión-energía-momento co-contra-variante$\pmb{T}{}_{\bullet}{}^{\bullet}$? Aquí también debemos buscar un significado operativo. Todavía hay investigaciones en curso sobre este asunto (ver la revisión anterior). Los puntos principales se resumen en esta respuesta . La literatura ofrece tres convenciones principales:

1. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{E}\mathrm{L}^{-1} = \mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}$

2. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{M} \mathrm{L}^{-1}$

3. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{M}\mathrm{L}^{-3} \mathrm{T}^{2}$

El primero es, con mucho, el más común, el segundo es utilizado por unos pocos pero importantes autores, el tercero por McVittie.

Constante de Einstein

constante de einstein$\kappa$por lo tanto relaciona una cantidad adimensional y la dimensión del tensor tensión-energía-momento:

Si usamos la convención 1. anterior, entonces se ve fácilmente que$\operatorname{dim}(\kappa) = \mathrm{E}^{-1}\,\mathrm{L}$, y estas son las dimensiones de$8\pi G/c^4$. Esta es la convención más utilizada.

Si usamos la convención 2. anterior, entonces$\operatorname{dim}(\kappa) = \mathrm{M}^{-1}\,\mathrm{L}$, y estas son las dimensiones de$8 \pi G/c^2$. Este valor para la constante de Einstein es utilizado por Fock (1964 p. 199) y algunos otros autores (por ejemplo, Synge, Adler-Bazin-Schiffer, McVittie).

Referencias adicionales

• Burke (1980): Espacio-tiempo, Geometría, Cosmología (Libros de Ciencias Universitarias)
• Burke (1987): Geometría diferencial aplicada (Cambridge)
• Eckart (1940): La termodinámica de los procesos irreversibles. tercero Teoría relativista del fluido simple , Phys. Rev. 58, 919.
• Fock (1964): La teoría del espacio, el tiempo y la gravitación (Pergamon)
• Misner, Thorne, Wheeler (1973): Gravitación (Freeman)
• Schouten (1989): Tensor Analysis for Physicists (Dover, 2.ª ed.)