¿Por qué la acción es adimensional en unidades naturales?

Es adimensional en el sentido de dimensión de masa .

Entorno$\hbar = c = 1$significa que solo necesitamos fijar una unidad base, que generalmente se toma como la energía medida en$\mathrm{eV}$. Ahora, desde$c=1$, esto significa que debido a$E=mc^2$convirtiéndose$E=m$ambas cosas$E$y$m$se miden en$\mathrm{eV}$. Pueden representar diferentes dimensiones (masa y energía), pero se miden en la misma unidad . Ahora,$E=h\nu$significa que el tiempo inverso se mide en$\mathrm{eV}$, entonces el tiempo se mide en$\mathrm{eV^{-1}}$. Y así.

Ahora, la "dimensión de masa" de una cantidad es simplemente el poder de$\mathrm{eV}$se mide en. Dado que la acción es la integral de una energía contra el tiempo, tiene unidades de$\mathrm{eV}\cdot\mathrm{eV}^{-1} = \mathrm{eV}^0$, es decir, tiene dimensión de masa cero.

Tienes razón en que no es "adimensional". Pero tener una dimensión de masa cero significa para cualquier cantidad$Q$que hay poderes de$\hbar$y$c$tal que$\frac{Q}{\hbar^n c^m}$ es adimensional, y dado que$\hbar = c = 1$,$\frac{Q}{\hbar^n c^m} = Q$, por lo que no hay diferencia numérica entre esas cantidades, y uno descuidadamente dice que$Q$es adimensional.

Si te preocupa un poco que$\frac{Q}{\hbar^n c^m} = Q$"se ve mal" desde el punto de vista del análisis dimensional, entonces sí, eso es correcto: la conveniencia en las fórmulas que obtenemos de$\hbar = c = 1$viene inevitablemente con la pérdida de una gran parte del análisis dimensional, todo lo que queda es la dimensión de masa para eso.

Para responder a su segunda pregunta:

¿Hay alguna razón particular para querer que la acción sea adimensional? ¿Es simplemente que queremos que su valor numérico sea independiente de cualquier sistema de unidades?

hay varias razones para ello. Una de ellas es que no queremos preocuparnos por hacer un seguimiento de los$\hbar$y$c$está en todas partes, ya que pueden sumarse bastante rápido. Otra razón más fundamental es que muchos fenómenos físicos dependen de la escala. En el sistema natural de unidades, la longitud se mide en las mismas unidades que la energía inversa, por lo que mirar un fenómeno a diferentes escalas es lo mismo que mirarlo a diferentes energías. Por lo tanto, medir todo en términos de energía (o masa) permite ver claramente cómo se comporta una teoría en diferentes escalas de energía: esta idea es uno de los principios básicos del método de Renormalización de Grupos. En la electrodinámica cuántica, por ejemplo, la masa del electrón varía según la escala de energía en la que estés trabajando: esto se debe al hecho de que los fenómenos involucrados en QED varían con la escala de energía del problema.

También tenga en cuenta que no puede hacer ninguna elección arbitraria de constantes, tiene que ser consistente. Por ejemplo, no puedes poner$c=1$,$\hbar=1$así como la constante de acoplamiento QED$e=1$, porque esto haría que la estructura fina fuera constante$\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} = 1$, haciendo así que la interacción electromagnética sea mucho más fuerte de lo que realmente es ($\alpha = \frac{1}{137}$a escala atómica).

La convención denominada unidades naturales se puede separar en dos partes:

1. Usando un conjunto diferente de unidades base. Por ejemplo, en lugar de usar las unidades SI$\text{kg}, \text{m}$y$\text{s}$como unidades base para un determinado subespacio del espacio unitario, el tipo más común de unidades naturales utiliza$\hbar, c$y$\text{eV}$como unidades base para el mismo subespacio. Por ejemplo$1\,\text{fm}$escrito en estas unidades base es igual$\frac{\hbar c}{197\,\text{MeV}}$.

2. No anotar algunas o todas estas unidades básicas. Por ejemplo, en el sabor más común de las unidades naturales,$\hbar$y$c$no se escriben. Esto generalmente se denota como$\hbar=1; c=1$. También podrías no escribir$\text{eV}$.

La Convención 1 es práctica ya que con frecuencia ha usado constantes como unidades base. La Convención 2 le ahorra la molestia de escribir algunas de estas unidades básicas y se basa en el hecho de que siempre puede reconstruir la unidad a partir de la dimensión de la cantidad que está considerando. Tenga en cuenta que incluso cuando se usan unidades naturales, escribir$\hbar = c$es técnicamente incorrecto ya que las unidades no escritas no coinciden.

Desde este punto de vista, la acción no es adimensional en unidades naturales, simplemente no se escriben las unidades que indican la dimensión.

Lecturas adicionales y autopublicidad descarada: Escribí un artículo didáctico ( preprint ) sobre el tema de las unidades naturales.