Representación de dimensiones en los resultados de la función delta de Dirac

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Representación de dimensiones en los resultados de la función delta de Dirac

unidades
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ariana

La función delta de Dirac se puede definir como

d (X) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i t X} d t

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}dt$ De esto vemos que la función dirac tiene unidades de

x^{- 1}

$x^{-1}$ .

¿Cómo representamos las unidades en casos como los vectores propios de momento que, cuando se incluyen las unidades, se representa como
$\frac{1}{\sqrt{2 π ℏ \cdot (k {gramo}^{- 1} {metro}^{- 1} s)}} {mi}^{\frac{yo pag X}{ℏ}}$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\cdot(kg^{-1}m^{-1}s)}}e^{\frac{\iota px}{\hbar}}$ o $\frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} {mi}^{\frac{yo pag X}{ℏ}} \cdot (k {gramo}^{\frac{1}{2}} {metro}^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{1}{2}}) ?$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{\iota px}{\hbar}}\cdot(kg^{\frac{1}{2}}m^{\frac{1}{2}}s^{-\frac{1}{2}})\,?$

¿Hay una forma preferida de escribir las unidades (no restringidas a unidades SI, cualquier otro sistema que incluya también unidades naturales) o simplemente las dejamos fuera, aunque sería dimensionalmente inconsistente sin unidades implícitas?

Las fuentes que puedo encontrar para el vector propio de impulso ignoran las unidades de la función delta sin siquiera mencionarlas.

PD: El problema surge al tratar de normalizar el operador de cantidad de movimiento.

Definir

ψ_{pag} (X) = A {mi}^{\frac{yo pag X}{ℏ}}

$\psi_p(x)=Ae^{\frac{\iota px}{\hbar}}$ Aqui,

A

$A$ tiene unidades de

m^{- \frac{1}{2}}

$m^{-\frac{1}{2}}$ .

Normalizándolo,

\int_{- \infty}^{\infty} ψ_{{pag}_{1}}^{*} (X) ψ_{{pag}_{2}} (X) d X

$\int_{-\infty}^\infty\psi^*_{p_1}(x)\psi_{p_2}(x)dx$

= | A |^{2} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{\frac{yo ({pag}_{2} - {pag}_{1}) X}{ℏ}} d X

$=|A|^2\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{\iota \left(p_2-p_1\right)x}{\hbar}}dx$

= | A |^{2} 2 π ℏ d ({pag}_{2} - {pag}_{1})

$=|A|^22\pi\hbar\delta\left(p_2-p_1\right)$ Por lo tanto, ignorando la consistencia de las unidades y asumiendo

A

$A$ es positivo,

A = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}}

$A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ Observe que las unidades no coinciden.

Respuestas (4)

Representación de dimensiones en los resultados de la función delta de Dirac

usuario8153 · Answer 1

La dimensión de la función delta de Dirac es la inversa de la dimensión de su argumento. Así que si $x$ es una longitud entonces $\delta(x)$ tiene la dimensión de longitud inversa.

En su ejemplo, el estado propio de impulso en la representación de posición tiene la función de onda

ψ_{pag} (X) = A {mi}^{i pag X / ℏ}

$\psi_p(x) = A \mathrm{e}^{i p x / \hbar}$ La interpretación de la función de onda es que

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ es una densidad de probabilidad, que es la dimensión de 1/Longitud. Por lo tanto,

A

$A$ tiene dimensión de

1 / \sqrt{L e n g t h}

$1/\sqrt{\mathrm{Length}}$ .

Como dices, calculando el producto escalar de dos funciones propias de impulso con valores propios $p_1$ y $p_2$ da

\int_{- \infty}^{\infty} d X ψ_{{pag}_{1}}^{*} (X) ψ_{{pag}_{2}} (X) = | A |^{2} \int_{- \infty}^{\infty} d X {mi}^{i ({pag}_{2} - {pag}_{1}) X / ℏ} = | A |^{2} 2 π ℏ d ({pag}_{2} - {pag}_{1})

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \, \psi_{p_1}^*(x) \psi_{p_2}(x) = |A|^2 \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \mathrm{e}^{i(p_2-p_1)x/\hbar} = |A|^2 2\pi \hbar \delta(p_2 - p_1)$ El lado izquierdo es adimensional y, por lo tanto, también lo es el lado derecho.

ℏ δ (p_{2} - p_{1})

$\hbar \delta(p_2-p_1)$ tiene dimensión de longitud, por lo que de nuevo obtenemos que la dimensión de

A

$A$ es

1 / \sqrt{L e n g t h}

$1/\sqrt{\mathrm{Length}}$ .

La pregunta es cómo representamos A. A tiene un valor de $\frac{1}{2\pi\hbar}$ junto con las unidades que provienen de la función delta

Wojciech Morawiec · Answer 2

Las unidades se suman en el ejemplo que proporciona:

Has establecido correctamente que la distribución delta tiene la dimensión de la dimensión inversa de su argumento. Esto se puede ver de varias maneras, por ejemplo, mirando $\int f(x)\delta(x-x_0) dx = f(x_0)$ , donde el LHS tiene que tener las dimensiones $f$ tiene.

Con esto, nos fijamos en las dimensiones de $\lvert A \rvert^2 2\pi\hbar \;\delta(p_1-p_2)$ :

[| A |^{2} 2 π ℏ d ({pag}_{1} - {pag}_{2})] = L^{- 1} [ℏ d ({pag}_{1} - {pag}_{2})] = L^{- 1} \frac{[ℏ]}{[({pag}_{1} - {pag}_{2})]} = L^{- 1} [X] = L^{- 1} L^{1} = 1,

$\left[\lvert A \rvert^2 2\pi\hbar\; \delta(p_1 - p_2) \right] = \textsf{L}^{-1} \left[ \hbar \delta(p_1-p_2) \right] = \textsf{L}^{-1} \frac{\left[ \hbar \right]}{[(p_1-p_2)]} = \textsf{L}^{-1} [x] = \textsf{L}^{-1} \textsf{L}^{1} = 1,$ donde he usado eso

\frac{p}{ℏ}

$\frac{p}{\hbar}$ tiene que tener dimensiones inversas de

x

$x$ hacer adimensional el argumento de la exponencial.

_{Nota: para $\psi_p(x)=A\exp(\frac{ipx}{\hbar})$ , queremos $\int \lvert \psi \rvert^2 dx$ para representar una probabilidad, que es adimensional. De esto se sigue que $A$ tiene que tener dimensiones $\textsf{L}^{-\frac12}$ .}

Lo siento, he editado el error en la pregunta, quería que fuera $m^{-\frac{1}{2}}$
@ArianaGrande Bien, estamos en la misma página, entonces :)
Sin embargo, en el ejemplo, $A^2$ se muestra que es $\frac{1}{2\pi\hbar}$ para fines de normalización, entonces, cómo representamos las unidades de la función delta en la función de onda original $Ae^{\frac{\iota px}{\hbar}}$
@ArianaGrande Ok, estoy confundida: en la edición de su pregunta dice algo como "ignorar la consistencia de la unidad, las unidades no coinciden". ¿Qué es exactamente lo que estás preguntando? $A$ no tiene dimensiones de $(2\pi\hbar)^{-1/2}$ , tiene unas dimensiones de $(2\pi\hbar)^{-1/2} (\mathrm{kg}\mathrm{\frac{m}{s}})^{1/2}$ debido a las unidades de la distribución delta, que en este caso tiene la dimensión de momento inverso.
Sí, ahí hay un problema, la pregunta es cómo debo expresar las unidades adicionales, ah y el $kg\frac{m}{s}$ debe ir dentro de la raíz inversa. (Ah, y las ediciones recientes son solo cambios de formato, sin contenido agregado)
@ArianaGrande La raíz cuadrada no debería ser la inversa, porque estoy hablando de las unidades de $A$ , que tiene unidades inversas de $\delta(p)$ , que es la inversa de la inversa de $p$ . De todos modos, como parece que estás preguntando sobre la notación, simplemente escribiría algo como $A = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\sqrt{\mathrm{kg}\mathrm{\frac{m}{s}}}$ .
Sí, solo estaba pidiendo notación. Y sí, debería haber sido raíz, no raíz inversa

Noiralef · Answer 3

No estoy del todo seguro de lo que quiere decir con la notación, por ejemplo

\frac{1}{\sqrt{2 π ℏ \cdot (k {gramo}^{- 1} {metro}^{- 1} s)}} {mi}^{\frac{yo pag X}{ℏ}} .

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\cdot(kg^{-1}m^{-1}s)}}e^{\frac{\iota px}{\hbar}}.$

Los estados propios del impulso son $\psi_p(x) = \frac{1}{2\pi\hbar} e^{ipx/\hbar}$ , esto es cierto en cualquier sistema de unidades. No necesitas multiplicar con ninguna unidad. En el sistema SI, esto tiene unidades de

\begin{matrix} (*) & \frac{1}{\sqrt{k gramo {metro}^{2} s^{- 1}}} . \end{matrix}

$\frac{1}{\sqrt{kg\, m^2\, s^{-1}}} . \tag{*}$

Definir
$ψ_{pag} (X) = A {mi}^{\frac{yo pag X}{ℏ}}$ $\psi_p(x)=Ae^{\frac{\iota px}{\hbar}}$ Aqui, $A$ tiene unidades de $m^{-1}$ .

Tenga en cuenta que $\int |\psi_p(x)|^2\, dx \neq 1$ (el estado no es normalizable), por lo tanto no hay razón para que la dimensión de $A$ debe ser de longitud inversa! Lo que usamos en lugar de la normalización es lo siguiente:

⟨ {pag}^{'} ∣ pag ⟩ = \int ψ_{pag} (X) ψ_{{pag}^{'}} (X)^{*} d X = d ({pag}^{'} - pag),

$\langle p' \mid p \rangle = \int \psi_p(x) \psi_{p'}(x)^\ast dx = \delta(p'-p) ,$ aquí el

δ

$\delta$ -la funcion tiene unidades de

k g^{- 1} m^{- 1} s

$kg^{-1}\, m^{-1}\, s$ que es totalmente compatible con (*).

O tal vez te ayude a considerar

d (X^{'}) = ⟨ X^{'} | X = 0 ⟩ = \int ψ_{pag} (0)^{*} ψ_{pag} (X^{'}) d pag = \frac{1}{2 π ℏ} \int {mi}^{i pag X^{'} / ℏ} d pag,

$\delta(x') = \langle x' | x=0 \rangle = \int \psi_p(0)^\ast \psi_p(x')\, dp = \frac{1}{2\pi\hbar} \int e^{ipx'/\hbar}\, dp ,$ donde las unidades también coinciden (por supuesto).

$\psi(x)$ es la densidad de probabilidad de la posición, que debe tener unidades de $m^{-\frac{1}{2}}$ , sin embargo, A tiene unidades de $kg^{-\frac{1}{2}}m^{-1}s^{\frac{1}{2}}$
@ArianaGrande Ahora veo de dónde vienes. Edito mi respuesta: $\int |\psi_p(x)|^2\, dx$ ¡no es uno!
¡Si ese no es uno, hay implicaciones masivas en la mecánica cuántica!
@ArianaGrande Los estados propios de momento y posición no son parte del espacio de Hilbert. El tema es matemáticamente un poco complicado. Eche un vistazo, por ejemplo, aquí (que trata sobre los estados propios de posición, pero es el mismo problema): physics.stackexchange.com/questions/339177/…
Buen punto, en la breve sección que he presentado, se ignoran muchos pasos de justificación. Sin embargo, la función de onda aún debe tener unidades de $m^{-\frac{1}{2}}$ y la probabilidad total de medir una partícula en cualquier posición es 1. PS realmente los vectores propios del momento son solo la posición que está completamente indefinida
@ArianaGrande Lo siento, pero... no ;) El problema con $\psi_p(x)$ es eso $|\psi_p(x)|^2$ es constante En un espacio infinito, no puede tener una densidad de probabilidad constante distinta de cero que sume 1. Por eso $\psi_p(x)$ no es un estado físico real, véalo solo como una herramienta matemática. Convencionalmente, se elige su normalización de tal forma que no tenga dimensiones de $(\text{length})^{-1/2}$ aunque es una función de onda. En otras palabras, $|\psi_p(x)|^2$ no tiene unidades de densidad de probabilidad convencionalmente.

natural · Answer 4

tl; dr - Algunas de las "definiciones" comunes de la función delta de Dirac no son matemáticamente rigurosas, sino más bien conceptuales. La confusión sobre las unidades parece provenir de que estas funciones se toman más literalmente de lo que se pretendía. En realidad, es un factor sin unidades.

La función delta de Dirac se puede definir como
$d (X) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i t X} d t$ $\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}dt$ De esto vemos que la función dirac tiene unidades de $x^{-1}$ .

Esto no sigue. La función delta de Dirac produce un valor sin unidades, generalmente utilizado como factor para algún otro término para poner a cero el valor de ese término para la mayoría de los valores de $x$ .

Las fuentes que puedo encontrar para el vector propio de impulso ignoran las unidades de la función delta sin siquiera mencionarlas.

No están asignando unidades porque la función delta de Dirac en sí misma carece de ellas.

Sobre la idea errónea de que las unidades se cancelan

A continuación, en los comentarios, @BySymmetry explicó la confusión como resultado de la observación de que

\int d X d (X) F (X) = F (0),

$\int \text{d}x{\delta}\left(x\right)f\left(x\right)=f\left(0\right),$ donde si queremos que las unidades se cancelen, entonces necesitamos

δ (x)

${\delta}\left(x\right)$ tener unidades de

x^{- 1}

$x^{-1}$ .

Como señala Wikipedia:

En consecuencia, la medida delta no tiene derivada de Radon-Nikodym, ninguna función verdadera para la cual la propiedad
$\int_{- \infty}^{\infty} F (X) d (X) d X = F (0)$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f\left(0\right)$ sostiene ^[21] Como resultado, la última notación es un abuso conveniente de la notación, y no una integral estándar (Riemann o Lebesgue).

- Función delta de Dirac , Wikipedia

En resumen, esta ecuación es un "abuso de notación", no la definición real de una función delta de Dirac. Entonces, la idea de que debería tener unidades de $x^{-1}$ basado en esta ecuación es sólo un malentendido.

Conceptualmente, el delta de Dirac es solo un dispositivo para hacer que una función sea cero en todas partes menos en un punto. es fundamentalmente un $0$ -o- $1$ factor de multiplicación, por lo que solo le faltan unidades. Puede escribir esa definición como quiera para que encaje en la notación matemática convencional, pero al final del día, eso es todo.

Ejemplo de la falacia

Tener unidades implica que, si cambia las unidades, digamos de metros a años luz, entonces necesita insertar un factor de multiplicación. Pero, si calcula algún valor con un delta de Dirac, luego cambia su unidad de longitud, ¿realmente multiplica por ese factor de conversión? Hacerlo sería un error matemático.

El problema es que un delta de Dirac está destinado a estar en un espacio infinitamente pequeño, por lo que asignarle proporcionalidad a través de unidades no tiene sentido.

De hecho, el delta de Dirac tiene unidades de $x^{-1}$ . Esto se puede ver claramente en la relación definitoria de la función delta $\int dx\; \delta(x) f(x) = f(0)$ . Desde $dx$ tiene unidades de $x$ , $\delta(x)$ debe tener unidades de $x^{-1}$
@BySymmetry Ah, entiendo la confusión: actualizaré la respuesta.
@BySymmetry Gracias por señalar el problema. ¿La actualización lo soluciona?
@Nat Decir que la función delta de dirac no tiene unidades falla en la identidad $\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)$ para $a\neq 0$ Además, otra definición de la función delta de dirac es la transformada de Fourier de 1(unidades). Lo que también implica que la función delta tiene el inverso de las unidades de su entrada
@ArianaGrande Si lee la letra pequeña de esa identidad, solo se aplica cuando $\alpha$ Es un escalar distinto de cero, es decir, sin unidades.
@Nat Lo que básicamente estás diciendo es que $\delta(x)$ no tiene un significado en sí mismo, sólo $\int \bullet \delta(x) dx$ que no tiene unidades. Pero a menudo es útil para tratar $\delta(x)$ como si fuera una función, y luego tiene unidades de $x^{-1}$ . Además, no hay ninguna razón por la cual la identidad que Ariana mencionó solo deba ser válida para escalar. $\alpha$ .
@Noiralef Pero no tiene unidades de $x^{-1}$ ; puedes tratarlo como una función sin recurrir a ese error. Si te ayuda, puedes decir que la integración da como resultado las unidades inversas en lugar de simplemente $1$ .
El comentario de @Nat Ariana contradice la declaración en su respuesta de que sería un error insertar un factor de conversión sin unidades si se cambia la escala de la variable, por ejemplo, pasando de metros a años luz. De hecho, eso es precisamente lo que uno debe hacer.
@ user8153 Tengo problemas para ver cómo cambiar las unidades en esa ecuación que Ariana proporcionó requeriría el factor de proporcionalidad de la unidad para mantener la corrección. ¿Podría escribir la ecuación de Ariana, pero con valores en lugar de las variables, para ayudarme a ver el problema?
@Nat Esto es lo que tenía en mente: digamos que tienes $\delta(x)$ , dónde $x$ es una longitud. Ahora podría elegir una unidad de longitud A (digamos, un metro) y escribir $\delta(x) = (1/A) \delta(x/A)$ . También podría elegir otra unidad de longitud B (digamos, un año luz) y obtener $\delta(x) = (1/B) \delta(x/B)$ . Para convertir entre estas dos expresiones necesito un factor de escala constante: $\delta(x/B) = (B/A) \delta(x/a)$ .

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