c4c4c^4 en las ecuaciones de campo de Einstein

Es un simple análisis dimensional. La teoría tiene dos parámetros fundamentales, la constante de Newton$G$, que determina la fuerza de la atracción gravitacional. tiene unidades$\frac{N\cdot m^{2}}{kg^{2}} = \frac{kg\cdot m}{s^{2}}\left(\frac{m^{2}}{kg^{2}}\right) = \frac{m^{3}}{kg\cdot s^{2}}$. En segundo lugar, tienes la velocidad de la luz, que te dice cuánto tiempo obtienes por cuánto espacio, y obviamente tiene unidades.$m/s$.

Entonces, tienes la ecuación de Einstein. La curvatura tiene unidades$m^{-2}$solo de las ecuaciones fundamentales para ello, y tienes

$$(\mbox{curvature terms}) = (\mbox{const.})(\mbox{stress-energy tensor})$$

¿Qué unidades debe tener la constante? Bien, el tensor tensión-energía tiene unidades de presión, por definición. Esto se traduce a:

$$\frac{N}{m^{2}} = \frac{kg\cdot m}{s^{2}\cdot m^{2}} = \frac{kg}{s^{2}\cdot m}$$

Por lo tanto, si nuestra ecuación va a tener algún sentido, la constante, ensamblada solo a partir de$G$y$c$y un número puro, debe ser de la forma$C\,G^{n}c^{k}$, y debe tener unidades de$\frac{s^{2}}{m\cdot kg}$

Hacemos notar que solo$G$tiene un factor de kilogramos, entonces$n$debe ser 1.

Poniendo todo junto, tenemos:

$$\begin{align}\frac{s^{2}}{m\cdot kg} &= \frac{m^{3}}{kg\cdot s^{2}}\frac{m^{k}}{s^{k}}\\ \frac{s^{4}}{m^{4}} &= \frac{m^{k}}{s^{k}} \end{align}$$

Por lo tanto,$k = -4$, y tenemos la ecuación de Einstein:

$$R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} = C \frac{G}{c^{4}}T_{ab}$$

El valor de C no se puede determinar a partir de primeros principios. La comparación con las predicciones de la ley de Newton nos da el valor$8\pi$, que corrige$G$tener el mismo valor que el$G$en la ley de Newton.

Sabes que en GR necesitas un espacio-tiempo local de Minkioski. Esto, en cada punto de tu variedad puedes cambiar las coordenadas para que la métrica sea diagonal, y el cuadrado del desplazamiento infinitesimal sea$ds^2=\left(ct\right)^2-x^2-y^2-z^2.$Así que aquí es donde el$c$viene de.

Luego, cuando desee calcular la constante de acoplamiento$k=\frac{8\pi G}{c^4}$, si empiezas teniendo en cuenta que hay un$c$en la métrica, encontrarás la potencia correcta de$c$en$k.$