Dimensiones de cantidades físicas en mecánica cuántica

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Dimensiones de cantidades físicas en mecánica cuántica

unidades
Física
mecánica cuántica
análisis dimensional
deberes-y-ejercicios

Harsha

En la mayoría de las clases introductorias de mecánica cuántica, se nos presenta la notación de Dirac, el concepto del 'estado' del sistema que se representa como un vector abstracto en el espacio de Hilbert asociado con él, y se nos dice que las mediciones de cantidades físicas implican la acción de un operador hermitiano asociado con la cantidad respectiva en la función de onda. Luego, se nos dice que el resultado de la medida es uno de los valores propios del operador, etc.

Sin embargo, se supone que estas medidas son cantidades físicas observables. Así, siempre que se hace una medida en la física clásica, debe dar lugar a una cantidad física, con dimensiones (por dimensiones, me refiero a longitud, Energía, etc.).

¿Dónde entra en escena exactamente la dimensión de la cantidad que se mide cuando se habla de QM? Por ejemplo, si digo que $|x_0\rangle$ es un estado propio del operador de posición $X$ , entonces la acción del operador de posición en el ket se escribe de la siguiente manera:

X | X_{0} ⟩ = X_{0} | X_{0} ⟩

$\begin{equation} X|x_0\rangle=x_0|x_0\rangle \end{equation}$ aqui cual es la cantidad

x_{0}

$x_0$ ? ¿Es solo un número puro? o hace

x_{0}

$x_0$ tiene unidades de longitud?

Si $x_0$ es solo un número puro, entonces, ¿dónde entra en escena la dimensión de longitud? si el valor $x_0$ tiene las dimensiones de longitud, entonces el operador puede $X$ operar en un vector de onda multiplicado por una cantidad con dimensiones físicas?

Además, son operadores de la forma $L^2+L_z$ , o $P+X$ (que se refieren a cantidades físicas con diferentes dimensiones; no hay constantes que se multipliquen con ellos) operadores válidos, y ¿cuál es la justificación (para que existan o no)?

Harald

Pregunta similar: physics.stackexchange.com/q/187006/73 , en particular el punto (d).

Harsha

@Harald Sí, la pregunta está relacionada con la mía. Pero, ¿qué impide que alguien pueda sumar dos operadores de diferentes dimensiones?

Respuestas (2)

Dimensiones de cantidades físicas en mecánica cuántica

Pregunta similar: physics.stackexchange.com/q/187006/73 , en particular el punto (d).
@Harald Sí, la pregunta está relacionada con la mía. Pero, ¿qué impide que alguien pueda sumar dos operadores de diferentes dimensiones?

ted pudlik · Answer 1

No hay nada especial en el tratamiento de las cantidades dimensionales en la mecánica cuántica. En el ejemplo específico del operador de posición que mencionaste,

\hat{X} | X_{0} ⟩ = X_{0} | X_{0} ⟩,

$\hat{x}|x_0\rangle = x_0 |x_0\rangle,$

el número $x_0$ tiene dimensión de longitud, ya que es uno de los posibles resultados de una medición de posición.

La adición de operadores solo tiene sentido si los operadores tienen las mismas unidades. Por ejemplo, en el enfoque del operador de escalera para el oscilador armónico cuántico, el operador de aniquilación se define,

\hat{a} = \sqrt{\frac{metro ω}{2 ℏ}} (\hat{X} + \frac{i}{metro ω} \hat{pag})

$\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{\imath}{m\omega}\hat{p}\right)$

el factor de $\frac{\imath}{m\omega}$ asegura que ambos operadores tengan las mismas unidades. Del mismo modo, la expresión $\hat{L}^2 + \hbar \hat{L}_z$ es dimensionalmente correcta, porque $\hbar$ tiene unidades de momento angular. (Tenga en cuenta que si está utilizando unidades naturales , entonces $\hbar = 1$ , y también podrías escribir $\hat{L}^2 + \hat{L}_z$ .)

Sí, entiende que normalmente, los operadores se suman multiplicándolos con las unidades correctas. Sin embargo, ¿hay algo que me impida explícitamente sumar operadores de diferentes dimensiones, o es solo sentido común?
Debo admitir que siempre he pensado que es "obvio" que no se pueden sumar cantidades con diferentes dimensiones. (Cuántico o clásico, ¡no importa!) Esto no significa que no haya una razón profunda para esto. En última instancia, es una expresión del principio de homogeneidad dimensional .
Puede pensar en los operadores como grandes matrices, en las que cada entrada tiene la dimensión del propio operador. Por lo tanto, el hecho de que no pueda sumar cantidades con diferentes dimensiones también se extiende a los operadores.

Drvrm · Answer 2

Las dimensiones de un espacio de Hilbert son contables, es decir, a cada dimensión se le puede asignar un número entero y, por lo tanto, todas las dimensiones se referencian de una manera única con 1, 2, 3, .... Un espacio vectorial que es un espacio de Hilbert tiene algunas dimensiones adicionales. propiedades.......

En el caso del átomo de hidrógeno, tuvimos que usar tres números cuánticos n, l y m para caracterizar completamente las funciones propias de energía. Sin prueba, los índices l y m caracterizan los valores propios del cuadrado del operador de momento angular L 2 y de la componente z del momento angular Lz con valores propios l(l + 1) ~2 y m~, respectivamente.

Se puede demostrar que el operador de Hamilton del átomo de hidrógeno, el cuadrado del operador de momento angular y la componente z del operador de momento angular se conmutan entre sí y construyen un sistema completo de operadores de conmutación (CSCO), cuyos valores propios permiten un caracterización única de los estados propios de energía del átomo de hidrógeno>

La cita anterior es de http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-974-fundamentals-of-photonics-quantum-electronics-spring-2006/lecture-notes/chapter5 .pdf

La cita anterior fue solo para preparar un terreno sobre cómo se representan las cosas/observables en el espacio de Hilbert.

Está planteando la cuestión de la relación de las Unidades y Dimensiones de medición observables medidas (como está disponible en la mecánica clásica / mecánica newtoniana) y su relación con las dimensiones de los espacios vectoriales

Creo que cuando el formalismo de la mecánica clásica se traslada a representaciones canónicas y las ecuaciones gobernantes son, por ejemplo, las ecuaciones de Hamilton, las coordenadas normales se reemplazan con "coordenadas generalizadas" y energía, los momentos también se toman en una base equivalente, lo que genera alguna ventaja en la resolución de problemas.

cuando uno pasa a la mecánica cuántica, las dimensiones de un observable se definen por el número de estados en los que se espera que permanezca el sistema.

Cuando uno está midiendo, digamos, posición, momento o energía, el valor esperado del resultado de la medición se da en sus unidades adecuadas en lugar de algún número abstracto. por ejemplo, digamos que la energía del haz de neutrones se mide en MeV, aunque es un valor esperado de hamiltoniano tomado en un estado propio particular. de manera similar, el estado fundamental del átomo de hidrógeno...... o el estado fundamental de Deuteron....

Dimensiones de cantidades físicas en mecánica cuántica

Harsha

Harald

Harsha

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ted pudlik

Harsha

ted pudlik

knzhou

Drvrm

Curiosa relación entre la dependencia en ℏ de las unidades de Planck y las dimensiones de las unidades

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