¿Las unidades de energía son las mismas en dimensiones superiores?

Supongamos por un momento que estamos específicamente interesados ​​en la energía cinética de una sola partícula no relativista, de modo que$E=\frac{1}{2}m\vec{v}^2$. Incluyo aquí la notación vectorial para la velocidad porque es útil tener en cuenta que$\vec{v}^2=\vec{v}\cdot\vec{v}$.

Si la partícula se mueve en dos dimensiones, entonces$\vec{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}$y$\vec{v}\cdot\vec{v}=v_x^2+v_y^2$, que tiene unidades de velocidad al cuadrado. En tres dimensiones,$\vec{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$y$\vec{v}\cdot\vec{v} = v_x^2+v_y^2+v_z^2$, que todavía tiene las unidades de velocidad al cuadrado. En cuatro dimensiones,$\vec{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}+v_w\hat{w}$, y$\vec{v}\cdot\vec{v}=v_x^2+v_y^2+v_z^2+v_w^2$, que, de nuevo, todavía tiene las unidades de velocidad al cuadrado. Esto se debe a que la suma de dos cantidades de las mismas unidades no cambia sus unidades. De hecho, esto es válido para cualquier número de dimensiones y sugiere que las unidades de energía deberían permanecer sin cambios.

También podemos ver esto de manera más general por la definición formal de trabajo, que es la definición de cambio en la energía:

$$W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{s}$$

para un objeto sobre el que actúa una fuerza$\vec{F}$moviéndose a lo largo de un camino$C$con parámetro de longitud de arco$d\vec{s}$. Esta es la definición formal, más general, y se mantiene sin importar cuántas dimensiones de espacio tenga. Una vez más, puede ver que esta definición implica un producto escalar. El producto punto toma dos vectores en cualquier número de dimensiones y genera una cantidad unidimensional (es decir, un número). El trabajo solo se preocupa por un componente de la fuerza, a saber, el que apunta a lo largo del camino unidimensional que está tomando la partícula. No importa en cuántas dimensiones espaciales esté incrustado este camino unidimensional, el trabajo solo se preocupa por las cosas que suceden a lo largo de una de esas dimensiones. Como tal, las unidades de trabajo deben ser siempre las mismas y, dado que el trabajo tiene las mismas unidades que la energía (de lo contrario, no podríamos sumarlas), las unidades de energía también deben ser siempre las mismas.

La mecánica clásica ya es (efectivamente) multidimensional.

Considere la ecuación de movimiento para una partícula en una dimensión:

$$\begin{align} m \ddot x(t) = F(x). \end{align}$$ Ahora considere la ecuación de movimiento para una partícula en dos dimensiones, $$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y), \end{align}$$ y en tres dimensiones $$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y,z)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y,z)\\ m \ddot z(t) & = F_z(x,y,z). \end{align}$$ Ahora considere la ecuación de movimiento para dos partículas en una dimensión, $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{1}(x_1,x_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{2}(x_1,x_2), \end{align}$$ o en dos dimensiones, $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{x,1}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_1 \ddot y_1(t) & = F_{y,1}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{x,2}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_2 \ddot y_2(t) & = F_{y,2}(x_1,y_1,x_2,y_2), \end{align}$$ o tres, $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{x,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_1 \ddot y_1(t) & = F_{y,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_1 \ddot z_1(t) & = F_{z,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{x,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot y_2(t) & = F_{y,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot z_2(t) & = F_{z,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2). \end{align}$$

El patrón debería ser bastante obvio: agregar dimensiones espaciales es idéntico a agregar partículas, y la mecánica clásica ya está perfectamente equipada para manejar dimensiones adicionales, de modo que, por ejemplo, si agrega una cuarta dimensión espacial, las ecuaciones de movimiento

$$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y,z,w)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y,z,w)\\ m \ddot z(t) & = F_z(x,y,z,w)\\ m \ddot w(t) & = F_z(x,y,z,w) \end{align}$$ tendría una forma exactamente idéntica a la de dos partículas en dos dimensiones.

Entonces, ¿qué significa eso para la energía? Bueno, siguiendo el principio central de que

Las mismas ecuaciones tienen las mismas soluciones y las mismas propiedades,

la dinámica en cuatro dimensiones espaciales tendrá una energía conservada que es exactamente análoga a la de dos partículas en dos dimensiones,

$$E = \frac12 m_1 \dot x_1^2 + \frac12 m_1 \dot y_1^2 + \frac12 m_2 \dot x_2^2 + \frac12 m_2 \dot y_2^2 + V(x_1,y_1,x_2,y_2)$$ es decir, una energía conservada de la forma $$E = \frac12 m \dot x^2 + \frac12 m \dot y^2 + \frac12 m \dot z^2 + \frac12 m \dot w^2 + V(x,y,z,w)$$ dónde$V(x,y,z,w)$es una energía potencial. Esto debería dejar claro que la dimensionalidad física de la energía, $$[E] = [ML^2T^{-2}],$$ no cambia con el proceso, y su forma de la mecánica clásica "normal" ya incorpora efectos que abarcan tantas dimensiones espaciales como desee.