Unicidad de la ecuación de Poisson en presencia de carga ligada desconocida

Estoy familiarizado con las pruebas de unicidad ordenadas habituales para las soluciones de la ecuación de Poisson,

$$\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon$$ que muestran que si tenemos dos soluciones$\phi'$,$\phi''$, entonces $$\int_{\Gamma} dV \nabla(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'') = \int_{\partial \Gamma}(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'')\cdot \vec{dA} - \int_{\Gamma} dV (\phi' - \phi'') \nabla^2(\phi' - \phi'')$$ Asumiré en todo momento que estoy considerando un volumen agradable y simple.$\Gamma$, y que he especificado condiciones de contorno en el contorno$\partial \Gamma$. La magia es que para las condiciones de contorno apropiadas, como von Neumman y Dirichlet o una mezcla de los dos en diferentes partes de$\partial \Gamma$, la integral de superficie del lado derecho se anula. Además,$\nabla^2(\phi' - \phi'')$se desvanece en todas partes, por lo que la integral de volumen de la derecha se desvanece, dejando

$$\int_{\Gamma} dV \nabla(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'') = 0$$ lo que implica que$\nabla(\phi' - \phi'')$es cero en el volumen, entonces$\phi' - \phi''$es constante Todo está bien.

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mi problema es que$\rho$a menudo no se especifica completamente! Por ejemplo, si tenemos un límite entre dos medios dieléctricos dentro de$\Gamma$, espero que el límite tenga carga ligada de la respuesta material. Eso es,$\rho = \rho_{\rm free,\, specified} + \rho_{\rm bound,\, unspecified}$. Para materiales simples, el problema gana condiciones de contorno adicionales en lugar de especificar$\rho_{\rm bound,\, unspecified}$al inicio.

Es decir, uno espera

$$\nabla^2 \phi = -\rho_{\rm free, specified}/\epsilon$$ lejos del límite entre los materiales simples, junto con la condición de límite adicional perpendicular al límite $$\epsilon_{a} \frac{\partial \psi}{ \partial n}\big{|}_{a} = \epsilon_{b} \frac{\partial \psi}{ \partial n}\large|_{b}$$ en el límite entre los materiales simples. Este último límite no es parte de$\partial \Gamma$, y esta condición de contorno tiene un sabor diferente al de Dirichlet o von Neumann, ya que es simplemente una ecuación de consistencia y no una especificación.

¿Cómo demuestro la unicidad (dados los tipos usuales de Dirichlet, von Neumann bc en$\partial \Gamma$) para tal problema, donde las condiciones de contorno adicionales dentro$\Gamma$suplantar completamente especificando$\rho$en$\Gamma$? Mi lucha es que no veo eso$\phi' - \phi''$satisfaría la ecuación de Laplace, ya que a priori la carga ligada podría ser diferente para las dos soluciones.