Teorema de unicidad en campo eléctrico uniforme

Considere lo siguiente: Una esfera de metal sin carga de radio R colocado en un campo eléctrico uniforme mi → = mi 0 z ^ . El campo empujará la carga positiva hacia la superficie norte de la esfera y la carga simétricamente negativa hacia la superficie sur. Esta carga inducida, a su vez, distorsiona el campo en la vecindad de la esfera. Encuentre el potencial en la región fuera de la esfera.

La esfera es una equipotencial, podemos ponerla a cero. Entonces por simetría todo el X y avión está en potencial cero. Entonces V no tiende a cero sino más bien lejos de la esfera el campo es mi 0 z ^ así tenemos

v → − mi 0 z + C .

Desde V = 0 en el plano ecuatorial, la constante C debe ser cero. Entonces las condiciones de frontera son

V = 0       cuando  r = R V → − mi 0 r porque ⁡ ( θ )       para  r >> R .

Usando la forma esférica de la ecuación de Laplace obtenemos que el potencial fuera de la esfera es

V ( r , θ ) = − mi 0 ( r − R 3 r 2 ) porque ⁡ ( θ ) .

¿Garantiza el teorema de unicidad de la ecuación de Laplace que este potencial sería el mismo potencial para, digamos, cualquier campo eléctrico uniforme? mi → 0 ya que las condiciones de contorno serían las mismas (excepto tal vez requiriendo una transformación de coordenadas) aunque la dirección del campo eléctrico uniforme podría ser diferente?

¿Por qué todo el plano xy está en potencial cero?
@JayJay Buena pregunta ... Estoy tratando de resolver eso también ... Este es un ejemplo de la cuarta edición de Griffiths "Introducción a la electrodinámica", página 145 Ejemplo 3.8. si estás interesado. Avísame si haces algún progreso...

Respuestas (1)

Todo el plano xy tiene obviamente el mismo potencial ya que todos los campos son estrictamente perpendiculares a él (dibuje un diagrama si está confundido). Dado que elegimos que la esfera esté en el potencial cero, el punto en la esfera que corta el plano xy también está en el potencial cero y, por lo tanto, todo el plano está en el cero según la definición elegida con su pregunta de unicidad, debido a la simetría esférica de la situación, un punto fijo con la dirección de mi 0 tendrá siempre el mismo potencial

{Nota: un punto fijo en el espacio no tendrá el mismo potencial para diferentes orientaciones de mi 0 .}

Gracias por su respuesta. Solo para confirmar la última parte de su respuesta que aborda la pregunta real de la publicación: ¿Está diciendo que la simetría del problema dado me permite usar el teorema de unicidad como lo hice, pero en general esto no es cierto?
Para aplicar la unicidad, se deben especificar los valores límite del potencial. Aunque se especifica en la superficie del conductor, no se especifica en el infinito. Por lo tanto, no puede aplicar la unicidad aquí.
Simplemente digo que el potencial será el mismo que la orientación del campo E debido a la simetría esférica.
@Lelouch Hola, ¿se puede ver la razón por el hecho de que V = − ∫ a b mi → ⋅ d I , ya que en el X y avion el d I es perpendicular a mi → , obtendríamos eso V es cero en todas partes X y avion si a se toma como un punto en la superficie de la esfera y en la X y ¿avión? Luego, en segundo lugar, ¿por qué está bien simplemente establecer el potencial de la esfera en cero si está en equipotencial como conductor? ¿Se alterará también el potencial en los puntos alrededor de la esfera? Gracias.
Está bien definir el potencial como cero en este caso, por lo que ya no será cero en el infinito como lo encontramos generalmente. Esta es simplemente una opción válida para simplificar los cálculos, a costa de hacer que el potencial no sea cero en el infinito, mientras que es cero en el plano y la esfera.
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